Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75498 / 61214
↖ ↑ ↗
← N 11.786703°
E 27.361450°		 ← 298.99 m → N 11.786703°
E 27.364197°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
N 11.784014°
E 27.361450°		 ← 298.99 m →
89 395 m²		 N 11.784014°
E 27.364197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576007843017578 y=0.467029571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576007843017578 × 217)
    floor (0.576007843017578 × 131072)
    floor (75498.5)     		tx = 75498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467029571533203 × 217)
    floor (0.467029571533203 × 131072)
    floor (61214.5)     		ty = 61214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75498 / 61214 ti = "17/75498/61214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75498/61214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75498 ÷ 217
    75498 ÷ 131072     		x = 0.576004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61214 ÷ 217
    61214 ÷ 131072     		y = 0.467025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576004028320312 × 2 - 1) × π
    0.152008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47754739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467025756835938 × 2 - 1) × π
    0.065948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.207183280157883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47754739} λ = 0.47754739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207183280157883))-π/2
    2×atan(1.23020802384052)-π/2
    2×0.888256548328384-π/2
    1.77651309665677-1.57079632675     		φ = 0.20571677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47754739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20571677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.786703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75498 KachelY 61214 0.47754739 0.20571677 27.361450 11.786703
    Oben rechts KachelX + 1 75499 KachelY 61214 0.47759533 0.20571677 27.364197 11.786703
    Unten links KachelX 75498 KachelY + 1 61215 0.47754739 0.20566984 27.361450 11.784014
    Unten rechts KachelX + 1 75499 KachelY + 1 61215 0.47759533 0.20566984 27.364197 11.784014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20571677-0.20566984) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20571677-0.20566984) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47754739-0.47759533) × cos(0.20571677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978914822197995 × 6371000     		do = 298.985783966595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47754739-0.47759533) × cos(0.20566984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978924407458024 × 6371000     		du = 298.988711551733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20571677)-sin(0.20566984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978914822197995-0.978924407458024)×R²
    abs(0.47759533-0.47754739)×9.58526002992066e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58526002992066e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58526002992066e-06×40589641000000     		ar = 89394.5051807725m²