Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75498 / 57819
↖ ↑ ↗
← N 20.727860°
E 27.361450°		 ← 285.66 m → N 20.727860°
E 27.364197°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.725291°
E 27.361450°		 ← 285.66 m →
81 606 m²		 N 20.725291°
E 27.364197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576007843017578 y=0.441127777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576007843017578 × 217)
    floor (0.576007843017578 × 131072)
    floor (75498.5)     		tx = 75498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441127777099609 × 217)
    floor (0.441127777099609 × 131072)
    floor (57819.5)     		ty = 57819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75498 / 57819 ti = "17/75498/57819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75498/57819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75498 ÷ 217
    75498 ÷ 131072     		x = 0.576004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57819 ÷ 217
    57819 ÷ 131072     		y = 0.441123962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576004028320312 × 2 - 1) × π
    0.152008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47754739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441123962402344 × 2 - 1) × π
    0.117752075195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.369929054367973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47754739} λ = 0.47754739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369929054367973))-π/2
    2×atan(1.44763190785942)-π/2
    2×0.96628286269611-π/2
    1.93256572539222-1.57079632675     		φ = 0.36176940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47754739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36176940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.727860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75498 KachelY 57819 0.47754739 0.36176940 27.361450 20.727860
    Oben rechts KachelX + 1 75499 KachelY 57819 0.47759533 0.36176940 27.364197 20.727860
    Unten links KachelX 75498 KachelY + 1 57820 0.47754739 0.36172456 27.361450 20.725291
    Unten rechts KachelX + 1 75499 KachelY + 1 57820 0.47759533 0.36172456 27.364197 20.725291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36176940-0.36172456) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dl = 285.675640000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36176940-0.36172456) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dr = 285.675640000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47754739-0.47759533) × cos(0.36176940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935272044933377 × 6371000     		do = 285.656156424903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47754739-0.47759533) × cos(0.36172456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935287914198942 × 6371000     		du = 285.661003307081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36176940)-sin(0.36172456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935272044933377-0.935287914198942)×R²
    abs(0.47759533-0.47754739)×1.58692655648496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58692655648496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58692655648496e-05×40589641000000     		ar = 81605.6976384429m²