Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75497 / 61209
↖ ↑ ↗
← N 11.800145°
E 27.358704°		 ← 298.91 m → N 11.800145°
E 27.361450°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.797457°
E 27.358704°		 ← 298.91 m →
89 352 m²		 N 11.797457°
E 27.361450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576000213623047 y=0.466991424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576000213623047 × 217)
    floor (0.576000213623047 × 131072)
    floor (75497.5)     		tx = 75497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466991424560547 × 217)
    floor (0.466991424560547 × 131072)
    floor (61209.5)     		ty = 61209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75497 / 61209 ti = "17/75497/61209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75497/61209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75497 ÷ 217
    75497 ÷ 131072     		x = 0.575996398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61209 ÷ 217
    61209 ÷ 131072     		y = 0.466987609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575996398925781 × 2 - 1) × π
    0.151992797851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.47749946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466987609863281 × 2 - 1) × π
    0.0660247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207422964655983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47749946} λ = 0.47749946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207422964655983))-π/2
    2×atan(1.23050292097299)-π/2
    2×0.888373860809394-π/2
    1.77674772161879-1.57079632675     		φ = 0.20595139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47749946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.358704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20595139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.800145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75497 KachelY 61209 0.47749946 0.20595139 27.358704 11.800145
    Oben rechts KachelX + 1 75498 KachelY 61209 0.47754739 0.20595139 27.361450 11.800145
    Unten links KachelX 75497 KachelY + 1 61210 0.47749946 0.20590447 27.358704 11.797457
    Unten rechts KachelX + 1 75498 KachelY + 1 61210 0.47754739 0.20590447 27.361450 11.797457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20595139-0.20590447) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20595139-0.20590447) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47749946-0.47754739) × cos(0.20595139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.978866869693428 × 6371000     		do = 298.908774429514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47749946-0.47754739) × cos(0.20590447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.978876463687275 × 6371000     		du = 298.91170407095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20595139)-sin(0.20590447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978866869693428-0.978876463687275)×R²
    abs(0.47754739-0.47749946)×9.59399384647952e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.59399384647952e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.59399384647952e-06×40589641000000     		ar = 89352.4367560603m²