Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75496 / 57832
↖ ↑ ↗
← N 20.694461°
E 27.355957°		 ← 285.72 m → N 20.694461°
E 27.358704°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.691892°
E 27.355957°		 ← 285.72 m →
81 624 m²		 N 20.691892°
E 27.358704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575992584228516 y=0.441226959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575992584228516 × 217)
    floor (0.575992584228516 × 131072)
    floor (75496.5)     		tx = 75496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441226959228516 × 217)
    floor (0.441226959228516 × 131072)
    floor (57832.5)     		ty = 57832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75496 / 57832 ti = "17/75496/57832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75496/57832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75496 ÷ 217
    75496 ÷ 131072     		x = 0.57598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57832 ÷ 217
    57832 ÷ 131072     		y = 0.44122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57598876953125 × 2 - 1) × π
    0.1519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47745152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44122314453125 × 2 - 1) × π
    0.1175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.369305874672913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47745152} λ = 0.47745152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369305874672913))-π/2
    2×atan(1.44673005408619)-π/2
    2×0.96599140929802-π/2
    1.93198281859604-1.57079632675     		φ = 0.36118649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47745152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36118649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.694461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75496 KachelY 57832 0.47745152 0.36118649 27.355957 20.694461
    Oben rechts KachelX + 1 75497 KachelY 57832 0.47749946 0.36118649 27.358704 20.694461
    Unten links KachelX 75496 KachelY + 1 57833 0.47745152 0.36114165 27.355957 20.691892
    Unten rechts KachelX + 1 75497 KachelY + 1 57833 0.47749946 0.36114165 27.358704 20.691892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36118649-0.36114165) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dl = 285.675640000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36118649-0.36114165) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dr = 285.675640000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47745152-0.47749946) × cos(0.36118649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935478195162677 × 6371000     		do = 285.719120011238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47745152-0.47749946) × cos(0.36114165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935494039979494 × 6371000     		du = 285.723959426139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36118649)-sin(0.36114165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935478195162677-0.935494039979494)×R²
    abs(0.47749946-0.47745152)×1.58448168172676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58448168172676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58448168172676e-05×40589641000000     		ar = 81623.683734738m²