Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75496 / 57800
↖ ↑ ↗
← N 20.776659°
E 27.355957°		 ← 285.56 m → N 20.776659°
E 27.358704°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 20.774091°
E 27.355957°		 ← 285.57 m →
81 543 m²		 N 20.774091°
E 27.358704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575992584228516 y=0.440982818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575992584228516 × 217)
    floor (0.575992584228516 × 131072)
    floor (75496.5)     		tx = 75496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440982818603516 × 217)
    floor (0.440982818603516 × 131072)
    floor (57800.5)     		ty = 57800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75496 / 57800 ti = "17/75496/57800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75496/57800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75496 ÷ 217
    75496 ÷ 131072     		x = 0.57598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57800 ÷ 217
    57800 ÷ 131072     		y = 0.44097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57598876953125 × 2 - 1) × π
    0.1519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47745152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44097900390625 × 2 - 1) × π
    0.1180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.370839855460754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47745152} λ = 0.47745152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370839855460754))-π/2
    2×atan(1.44895101321316)-π/2
    2×0.966708717402278-π/2
    1.93341743480456-1.57079632675     		φ = 0.36262111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47745152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36262111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.776659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75496 KachelY 57800 0.47745152 0.36262111 27.355957 20.776659
    Oben rechts KachelX + 1 75497 KachelY 57800 0.47749946 0.36262111 27.358704 20.776659
    Unten links KachelX 75496 KachelY + 1 57801 0.47745152 0.36257629 27.355957 20.774091
    Unten rechts KachelX + 1 75497 KachelY + 1 57801 0.47749946 0.36257629 27.358704 20.774091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36262111-0.36257629) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36262111-0.36257629) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47745152-0.47749946) × cos(0.36262111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934970260314034 × 6371000     		do = 285.563983634219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47745152-0.47749946) × cos(0.36257629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93498615819913 × 6371000     		du = 285.568839257539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36262111)-sin(0.36257629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934970260314034-0.93498615819913)×R²
    abs(0.47749946-0.47745152)×1.58978850958169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58978850958169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58978850958169e-05×40589641000000     		ar = 81542.9804939107m²