Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75495 / 57891
↖ ↑ ↗
← N 20.542793°
E 27.353210°		 ← 286 m → N 20.542793°
E 27.355957°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.540221°
E 27.353210°		 ← 286.01 m →
81 796 m²		 N 20.540221°
E 27.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575984954833984 y=0.441677093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575984954833984 × 217)
    floor (0.575984954833984 × 131072)
    floor (75495.5)     		tx = 75495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441677093505859 × 217)
    floor (0.441677093505859 × 131072)
    floor (57891.5)     		ty = 57891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75495 / 57891 ti = "17/75495/57891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75495/57891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75495 ÷ 217
    75495 ÷ 131072     		x = 0.575981140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57891 ÷ 217
    57891 ÷ 131072     		y = 0.441673278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575981140136719 × 2 - 1) × π
    0.151962280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47740358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441673278808594 × 2 - 1) × π
    0.116653442382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.366477597595329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47740358} λ = 0.47740358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366477597595329))-π/2
    2×atan(1.44264408149177)-π/2
    2×0.964667853759301-π/2
    1.9293357075186-1.57079632675     		φ = 0.35853938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47740358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.353210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35853938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.542793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75495 KachelY 57891 0.47740358 0.35853938 27.353210 20.542793
    Oben rechts KachelX + 1 75496 KachelY 57891 0.47745152 0.35853938 27.355957 20.542793
    Unten links KachelX 75495 KachelY + 1 57892 0.47740358 0.35849449 27.353210 20.540221
    Unten rechts KachelX + 1 75496 KachelY + 1 57892 0.47745152 0.35849449 27.355957 20.540221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35853938-0.35849449) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35853938-0.35849449) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47740358-0.47745152) × cos(0.35853938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936410363959576 × 6371000     		do = 286.003828356167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47740358-0.47745152) × cos(0.35849449) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936426115225406 × 6371000     		du = 286.008639198189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35853938)-sin(0.35849449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936410363959576-0.936426115225406)×R²
    abs(0.47745152-0.47740358)×1.57512658299774e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57512658299774e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57512658299774e-05×40589641000000     		ar = 81796.1211778646m²