Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75493 / 57854
↖ ↑ ↗
← N 20.637925°
E 27.347717°		 ← 285.83 m → N 20.637925°
E 27.350464°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.635355°
E 27.347717°		 ← 285.83 m →
81 690 m²		 N 20.635355°
E 27.350464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575969696044922 y=0.441394805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575969696044922 × 217)
    floor (0.575969696044922 × 131072)
    floor (75493.5)     		tx = 75493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441394805908203 × 217)
    floor (0.441394805908203 × 131072)
    floor (57854.5)     		ty = 57854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75493 / 57854 ti = "17/75493/57854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75493/57854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75493 ÷ 217
    75493 ÷ 131072     		x = 0.575965881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57854 ÷ 217
    57854 ÷ 131072     		y = 0.441390991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575965881347656 × 2 - 1) × π
    0.151931762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47730771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441390991210938 × 2 - 1) × π
    0.117218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.368251262881271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47730771} λ = 0.47730771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368251262881271))-π/2
    2×atan(1.44520511976003)-π/2
    2×0.965498034280054-π/2
    1.93099606856011-1.57079632675     		φ = 0.36019974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47730771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.347717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36019974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.637925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75493 KachelY 57854 0.47730771 0.36019974 27.347717 20.637925
    Oben rechts KachelX + 1 75494 KachelY 57854 0.47735565 0.36019974 27.350464 20.637925
    Unten links KachelX 75493 KachelY + 1 57855 0.47730771 0.36015488 27.347717 20.635355
    Unten rechts KachelX + 1 75494 KachelY + 1 57855 0.47735565 0.36015488 27.350464 20.635355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36019974-0.36015488) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36019974-0.36015488) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47730771-0.47735565) × cos(0.36019974) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		do = 285.825483484349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47730771-0.47735565) × cos(0.36015488) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935842252219844 × 6371000     		du = 285.830312407656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36019974)-sin(0.36015488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935826441753747-0.935842252219844)×R²
    abs(0.47735565-0.47730771)×1.58104660967773e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58104660967773e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58104660967773e-05×40589641000000     		ar = 81690.4878800019m²