Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7549 / 7552
↖ ↑ ↗
← N 79.812302°
W138.532104°		 ← 108.03 m → N 79.812302°
W138.526611°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 79.811331°
W138.532104°		 ← 108.04 m →
11 674 m²		 N 79.811331°
W138.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115196228027344 y=0.115242004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115196228027344 × 216)
    floor (0.115196228027344 × 65536)
    floor (7549.5)     		tx = 7549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115242004394531 × 216)
    floor (0.115242004394531 × 65536)
    floor (7552.5)     		ty = 7552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7549 / 7552 ti = "16/7549/7552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7549/7552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7549 ÷ 216
    7549 ÷ 65536     		x = 0.115188598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7552 ÷ 216
    7552 ÷ 65536     		y = 0.115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115188598632812 × 2 - 1) × π
    -0.769622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.41784134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115234375 × 2 - 1) × π
    0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41784134} λ = -2.41784134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41755372163867))-π/2
    2×atan(11.2183824343369)-π/2
    2×1.48189189245685-π/2
    2.96378378491369-1.57079632675     		φ = 1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41784134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.532104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7549 KachelY 7552 -2.41784134 1.39298746 -138.532104 79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 7550 KachelY 7552 -2.41774547 1.39298746 -138.526611 79.812302
    Unten links KachelX 7549 KachelY + 1 7553 -2.41784134 1.39297050 -138.532104 79.811331
    Unten rechts KachelX + 1 7550 KachelY + 1 7553 -2.41774547 1.39297050 -138.526611 79.811331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39298746-1.39297050) × R
    1.69600000001768e-05 × 6371000     		dl = 108.052160001127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39298746-1.39297050) × R
    1.69600000001768e-05 × 6371000     		dr = 108.052160001127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41784134--2.41774547) × cos(1.39298746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 108.032117376876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41784134--2.41774547) × cos(1.39297050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176890105377339 × 6371000     		du = 108.042312998488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39298746)-sin(1.39297050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.176890105377339)×R²
    abs(-2.41774547--2.41784134)×1.66925765592574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66925765592574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66925765592574e-05×40589641000000     		ar = 11673.654461843m²