Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7549 / 5251
↖ ↑ ↗
← N 54.123822°
W 14.128418°		 ← 1 431.81 m → N 54.123822°
W 14.106446°		 →
↑
1 432.01 m
↓
↑
1 432.01 m
↓
N 54.110943°
W 14.128418°		 ← 1 432.26 m →
2 050 685 m²		 N 54.110943°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460784912109375 y=0.320526123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460784912109375 × 214)
    floor (0.460784912109375 × 16384)
    floor (7549.5)     		tx = 7549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320526123046875 × 214)
    floor (0.320526123046875 × 16384)
    floor (5251.5)     		ty = 5251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7549 / 5251 ti = "14/7549/5251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7549/5251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7549 ÷ 214
    7549 ÷ 16384     		x = 0.46075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5251 ÷ 214
    5251 ÷ 16384     		y = 0.32049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24658741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32049560546875 × 2 - 1) × π
    0.3590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12785937426068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24658741} λ = -0.24658741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12785937426068))-π/2
    2×atan(3.08903694566251)-π/2
    2×1.25771760960571-π/2
    2.51543521921143-1.57079632675     		φ = 0.94463889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24658741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94463889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.123822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7549 KachelY 5251 -0.24658741 0.94463889 -14.128418 54.123822
    Oben rechts KachelX + 1 7550 KachelY 5251 -0.24620392 0.94463889 -14.106446 54.123822
    Unten links KachelX 7549 KachelY + 1 5252 -0.24658741 0.94441412 -14.128418 54.110943
    Unten rechts KachelX + 1 7550 KachelY + 1 5252 -0.24620392 0.94441412 -14.106446 54.110943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94463889-0.94441412) × R
    0.000224769999999985 × 6371000     		dl = 1432.00966999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94463889-0.94441412) × R
    0.000224769999999985 × 6371000     		dr = 1432.00966999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24658741--0.24620392) × cos(0.94463889) × R
    0.000383490000000014 × 0.586035519369062 × 6371000     		do = 1431.81064838788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24658741--0.24620392) × cos(0.94441412) × R
    0.000383490000000014 × 0.586217632404934 × 6371000     		du = 1432.25558965057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94463889)-sin(0.94441412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586035519369062-0.586217632404934)×R²
    abs(-0.24620392--0.24658741)×0.000182113035871456×R²
    0.000383490000000014×0.000182113035871456×6371000²
    0.000383490000000014×0.000182113035871456×40589641000000     		ar = 2050685.28282915m²