Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7549 / 4980
↖ ↑ ↗
← N 57.468589°
W 14.128418°		 ← 1 313.87 m → N 57.468589°
W 14.106446°		 →
↑
1 314.08 m
↓
↑
1 314.08 m
↓
N 57.456771°
W 14.128418°		 ← 1 314.29 m →
1 726 810 m²		 N 57.456771°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460784912109375 y=0.303985595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460784912109375 × 214)
    floor (0.460784912109375 × 16384)
    floor (7549.5)     		tx = 7549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303985595703125 × 214)
    floor (0.303985595703125 × 16384)
    floor (4980.5)     		ty = 4980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7549 / 4980 ti = "14/7549/4980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7549/4980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7549 ÷ 214
    7549 ÷ 16384     		x = 0.46075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4980 ÷ 214
    4980 ÷ 16384     		y = 0.303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24658741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303955078125 × 2 - 1) × π
    0.39208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23178657263696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24658741} λ = -0.24658741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23178657263696))-π/2
    2×atan(3.4273472746287)-π/2
    2×1.28690621232698-π/2
    2.57381242465395-1.57079632675     		φ = 1.00301610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24658741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00301610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.468589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7549 KachelY 4980 -0.24658741 1.00301610 -14.128418 57.468589
    Oben rechts KachelX + 1 7550 KachelY 4980 -0.24620392 1.00301610 -14.106446 57.468589
    Unten links KachelX 7549 KachelY + 1 4981 -0.24658741 1.00280984 -14.128418 57.456771
    Unten rechts KachelX + 1 7550 KachelY + 1 4981 -0.24620392 1.00280984 -14.106446 57.456771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00301610-1.00280984) × R
    0.000206259999999903 × 6371000     		dl = 1314.08245999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00301610-1.00280984) × R
    0.000206259999999903 × 6371000     		dr = 1314.08245999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24658741--0.24620392) × cos(1.00301610) × R
    0.000383490000000014 × 0.53776189155363 × 6371000     		do = 1313.86780694225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24658741--0.24620392) × cos(1.00280984) × R
    0.000383490000000014 × 0.537935777251217 × 6371000     		du = 1314.29264705037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00301610)-sin(1.00280984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53776189155363-0.537935777251217)×R²
    abs(-0.24620392--0.24658741)×0.000173885697587361×R²
    0.000383490000000014×0.000173885697587361×6371000²
    0.000383490000000014×0.000173885697587361×40589641000000     		ar = 1726809.78344936m²