Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75488 / 60640
↖ ↑ ↗
← N 13.325485°
E 27.333985°		 ← 297.14 m → N 13.325485°
E 27.336731°		 →
↑
297.21 m
↓
↑
297.21 m
↓
N 13.322812°
E 27.333985°		 ← 297.14 m →
88 313 m²		 N 13.322812°
E 27.336731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575931549072266 y=0.462650299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575931549072266 × 217)
    floor (0.575931549072266 × 131072)
    floor (75488.5)     		tx = 75488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462650299072266 × 217)
    floor (0.462650299072266 × 131072)
    floor (60640.5)     		ty = 60640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75488 / 60640 ti = "17/75488/60640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75488/60640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75488 ÷ 217
    75488 ÷ 131072     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60640 ÷ 217
    60640 ÷ 131072     		y = 0.462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.234699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234699060539795))-π/2
    2×atan(1.26452816504303)-π/2
    2×0.901684956233397-π/2
    1.80336991246679-1.57079632675     		φ = 0.23257359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23257359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.325485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75488 KachelY 60640 0.47706803 0.23257359 27.333985 13.325485
    Oben rechts KachelX + 1 75489 KachelY 60640 0.47711596 0.23257359 27.336731 13.325485
    Unten links KachelX 75488 KachelY + 1 60641 0.47706803 0.23252694 27.333985 13.322812
    Unten rechts KachelX + 1 75489 KachelY + 1 60641 0.47711596 0.23252694 27.336731 13.322812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23257359-0.23252694) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dl = 297.207150000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23257359-0.23252694) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dr = 297.207150000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.23257359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973076450505838 × 6371000     		do = 297.140600271839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.23252694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973087201459557 × 6371000     		du = 297.143883204891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23257359)-sin(0.23252694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973076450505838-0.973087201459557)×R²
    abs(0.47711596-0.47706803)×1.07509537184969e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07509537184969e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07509537184969e-05×40589641000000     		ar = 88312.7988277488m²