Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75488 / 57888
↖ ↑ ↗
← N 20.550509°
E 27.333985°		 ← 285.93 m → N 20.550509°
E 27.336731°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.547937°
E 27.333985°		 ← 285.93 m →
81 757 m²		 N 20.547937°
E 27.336731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575931549072266 y=0.441654205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575931549072266 × 217)
    floor (0.575931549072266 × 131072)
    floor (75488.5)     		tx = 75488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441654205322266 × 217)
    floor (0.441654205322266 × 131072)
    floor (57888.5)     		ty = 57888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75488 / 57888 ti = "17/75488/57888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75488/57888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75488 ÷ 217
    75488 ÷ 131072     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57888 ÷ 217
    57888 ÷ 131072     		y = 0.441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366621408294189))-π/2
    2×atan(1.44285156406409)-π/2
    2×0.964735184974589-π/2
    1.92947036994918-1.57079632675     		φ = 0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75488 KachelY 57888 0.47706803 0.35867404 27.333985 20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 75489 KachelY 57888 0.47711596 0.35867404 27.336731 20.550509
    Unten links KachelX 75488 KachelY + 1 57889 0.47706803 0.35862916 27.333985 20.547937
    Unten rechts KachelX + 1 75489 KachelY + 1 57889 0.47711596 0.35862916 27.336731 20.547937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35867404-0.35862916) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35867404-0.35862916) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.35867404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 285.929737751086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.35862916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936378855767033 × 6371000     		du = 285.934548246273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35867404)-sin(0.35862916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936378855767033)×R²
    abs(0.47711596-0.47706803)×1.57534163205408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57534163205408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57534163205408e-05×40589641000000     		ar = 81756.7149087265m²