Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75488 / 57761
↖ ↑ ↗
← N 20.876777°
E 27.333985°		 ← 285.31 m → N 20.876777°
E 27.336731°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.874210°
E 27.333985°		 ← 285.32 m →
81 417 m²		 N 20.874210°
E 27.336731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575931549072266 y=0.440685272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575931549072266 × 217)
    floor (0.575931549072266 × 131072)
    floor (75488.5)     		tx = 75488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440685272216797 × 217)
    floor (0.440685272216797 × 131072)
    floor (57761.5)     		ty = 57761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75488 / 57761 ti = "17/75488/57761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75488/57761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75488 ÷ 217
    75488 ÷ 131072     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57761 ÷ 217
    57761 ÷ 131072     		y = 0.440681457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440681457519531 × 2 - 1) × π
    0.118637084960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.372709394545937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372709394545937))-π/2
    2×atan(1.45166241751329)-π/2
    2×0.967582408943754-π/2
    1.93516481788751-1.57079632675     		φ = 0.36436849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36436849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.876777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75488 KachelY 57761 0.47706803 0.36436849 27.333985 20.876777
    Oben rechts KachelX + 1 75489 KachelY 57761 0.47711596 0.36436849 27.336731 20.876777
    Unten links KachelX 75488 KachelY + 1 57762 0.47706803 0.36432370 27.333985 20.874210
    Unten rechts KachelX + 1 75489 KachelY + 1 57762 0.47711596 0.36432370 27.336731 20.874210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36436849-0.36432370) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36436849-0.36432370) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.36436849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934348991932094 × 6371000     		do = 285.314704905013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.36432370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934364952328581 × 6371000     		du = 285.319578604083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36436849)-sin(0.36432370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934348991932094-0.934364952328581)×R²
    abs(0.47711596-0.47706803)×1.59603964871025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59603964871025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59603964871025e-05×40589641000000     		ar = 81417.2693118649m²