Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75488 / 55583
↖ ↑ ↗
← N 26.354959°
E 27.333985°		 ← 273.62 m → N 26.354959°
E 27.336731°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 26.352498°
E 27.333985°		 ← 273.63 m →
74 891 m²		 N 26.352498°
E 27.336731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575931549072266 y=0.424068450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575931549072266 × 217)
    floor (0.575931549072266 × 131072)
    floor (75488.5)     		tx = 75488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424068450927734 × 217)
    floor (0.424068450927734 × 131072)
    floor (55583.5)     		ty = 55583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75488 / 55583 ti = "17/75488/55583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75488/55583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75488 ÷ 217
    75488 ÷ 131072     		x = 0.575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55583 ÷ 217
    55583 ÷ 131072     		y = 0.424064636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424064636230469 × 2 - 1) × π
    0.151870727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.477115961918419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47706803} λ = 0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477115961918419))-π/2
    2×atan(1.61142029660911)-π/2
    2×1.01538856768815-π/2
    2.0307771353763-1.57079632675     		φ = 0.45998081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45998081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.354959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75488 KachelY 55583 0.47706803 0.45998081 27.333985 26.354959
    Oben rechts KachelX + 1 75489 KachelY 55583 0.47711596 0.45998081 27.336731 26.354959
    Unten links KachelX 75488 KachelY + 1 55584 0.47706803 0.45993785 27.333985 26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 75489 KachelY + 1 55584 0.47711596 0.45993785 27.336731 26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45998081-0.45993785) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45998081-0.45993785) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.45998081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896061016724709 × 6371000     		do = 273.623011071089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47706803-0.47711596) × cos(0.45993785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 273.628834460914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45998081)-sin(0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896061016724709-0.896080087169799)×R²
    abs(0.47711596-0.47706803)×1.90704450901968e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90704450901968e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90704450901968e-05×40589641000000     		ar = 74890.9116008987m²