Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75487 / 57696
↖ ↑ ↗
← N 21.043491°
E 27.331238°		 ← 285.06 m → N 21.043491°
E 27.333985°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
N 21.040928°
E 27.331238°		 ← 285.06 m →
81 253 m²		 N 21.040928°
E 27.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575923919677734 y=0.440189361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575923919677734 × 217)
    floor (0.575923919677734 × 131072)
    floor (75487.5)     		tx = 75487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440189361572266 × 217)
    floor (0.440189361572266 × 131072)
    floor (57696.5)     		ty = 57696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75487 / 57696 ti = "17/75487/57696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75487/57696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75487 ÷ 217
    75487 ÷ 131072     		x = 0.575920104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57696 ÷ 217
    57696 ÷ 131072     		y = 0.440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575920104980469 × 2 - 1) × π
    0.151840209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47702009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    0.11962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.37582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47702009} λ = 0.47702009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37582529302124))-π/2
    2×atan(1.45619270451855)-π/2
    2×0.9690372673163-π/2
    1.9380745346326-1.57079632675     		φ = 0.36727821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47702009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.331238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36727821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.043491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75487 KachelY 57696 0.47702009 0.36727821 27.331238 21.043491
    Oben rechts KachelX + 1 75488 KachelY 57696 0.47706803 0.36727821 27.333985 21.043491
    Unten links KachelX 75487 KachelY + 1 57697 0.47702009 0.36723347 27.331238 21.040928
    Unten rechts KachelX + 1 75488 KachelY + 1 57697 0.47706803 0.36723347 27.333985 21.040928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36727821-0.36723347) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dl = 285.038539999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36727821-0.36723347) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dr = 285.038539999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47702009-0.47706803) × cos(0.36727821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933308132253376 × 6371000     		do = 285.056326941318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47702009-0.47706803) × cos(0.36723347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933324196401733 × 6371000     		du = 285.061233345718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36727821)-sin(0.36723347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933308132253376-0.933324196401733)×R²
    abs(0.47706803-0.47702009)×1.60641483574198e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60641483574198e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60641483574198e-05×40589641000000     		ar = 81252.7385198867m²