Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75486 / 55390
↖ ↑ ↗
← N 26.828973°
E 27.328491°		 ← 272.55 m → N 26.828973°
E 27.331238°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.826522°
E 27.328491°		 ← 272.55 m →
74 284 m²		 N 26.826522°
E 27.331238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575916290283203 y=0.422595977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575916290283203 × 217)
    floor (0.575916290283203 × 131072)
    floor (75486.5)     		tx = 75486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422595977783203 × 217)
    floor (0.422595977783203 × 131072)
    floor (55390.5)     		ty = 55390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75486 / 55390 ti = "17/75486/55390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75486/55390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75486 ÷ 217
    75486 ÷ 131072     		x = 0.575912475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55390 ÷ 217
    55390 ÷ 131072     		y = 0.422592163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575912475585938 × 2 - 1) × π
    0.151824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47697215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422592163085938 × 2 - 1) × π
    0.154815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.48636778354509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47697215} λ = 0.47697215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48636778354509))-π/2
    2×atan(1.62639804866774)-π/2
    2×1.01952511813223-π/2
    2.03905023626446-1.57079632675     		φ = 0.46825391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47697215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.328491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46825391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.828973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75486 KachelY 55390 0.47697215 0.46825391 27.328491 26.828973
    Oben rechts KachelX + 1 75487 KachelY 55390 0.47702009 0.46825391 27.331238 26.828973
    Unten links KachelX 75486 KachelY + 1 55391 0.47697215 0.46821113 27.328491 26.826522
    Unten rechts KachelX + 1 75487 KachelY + 1 55391 0.47702009 0.46821113 27.331238 26.826522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46825391-0.46821113) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46825391-0.46821113) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47697215-0.47702009) × cos(0.46825391) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892357708887686 × 6371000     		do = 272.549013581863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47697215-0.47702009) × cos(0.46821113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892377015918775 × 6371000     		du = 272.554910446121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46825391)-sin(0.46821113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892357708887686-0.892377015918775)×R²
    abs(0.47702009-0.47697215)×1.93070310896548e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93070310896548e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93070310896548e-05×40589641000000     		ar = 74284.4133799904m²