Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75485 / 55417
↖ ↑ ↗
← N 26.762778°
E 27.325744°		 ← 272.71 m → N 26.762778°
E 27.328491°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 26.760326°
E 27.325744°		 ← 272.71 m →
74 380 m²		 N 26.760326°
E 27.328491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575908660888672 y=0.422801971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575908660888672 × 217)
    floor (0.575908660888672 × 131072)
    floor (75485.5)     		tx = 75485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422801971435547 × 217)
    floor (0.422801971435547 × 131072)
    floor (55417.5)     		ty = 55417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75485 / 55417 ti = "17/75485/55417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75485/55417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75485 ÷ 217
    75485 ÷ 131072     		x = 0.575904846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55417 ÷ 217
    55417 ÷ 131072     		y = 0.422798156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575904846191406 × 2 - 1) × π
    0.151809692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47692421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422798156738281 × 2 - 1) × π
    0.154403686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.485073487255348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47692421} λ = 0.47692421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485073487255348))-π/2
    2×atan(1.62429436939352)-π/2
    2×1.01894746192121-π/2
    2.03789492384242-1.57079632675     		φ = 0.46709860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47692421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.325744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46709860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.762778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75485 KachelY 55417 0.47692421 0.46709860 27.325744 26.762778
    Oben rechts KachelX + 1 75486 KachelY 55417 0.47697215 0.46709860 27.328491 26.762778
    Unten links KachelX 75485 KachelY + 1 55418 0.47692421 0.46705579 27.325744 26.760326
    Unten rechts KachelX + 1 75486 KachelY + 1 55418 0.47697215 0.46705579 27.328491 26.760326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46709860-0.46705579) × R
    4.28099999999487e-05 × 6371000     		dl = 272.742509999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46709860-0.46705579) × R
    4.28099999999487e-05 × 6371000     		dr = 272.742509999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47692421-0.47697215) × cos(0.46709860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892878537957494 × 6371000     		do = 272.708088185607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47692421-0.47697215) × cos(0.46705579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89289781437898 × 6371000     		du = 272.713975700904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46709860)-sin(0.46705579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892878537957494-0.89289781437898)×R²
    abs(0.47697215-0.47692421)×1.92764214869134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92764214869134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92764214869134e-05×40589641000000     		ar = 74379.8913681292m²