Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75483 / 57879
↖ ↑ ↗
← N 20.573653°
E 27.320251°		 ← 285.95 m → N 20.573653°
E 27.322998°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.571082°
E 27.320251°		 ← 285.95 m →
81 761 m²		 N 20.571082°
E 27.322998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575893402099609 y=0.441585540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575893402099609 × 217)
    floor (0.575893402099609 × 131072)
    floor (75483.5)     		tx = 75483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441585540771484 × 217)
    floor (0.441585540771484 × 131072)
    floor (57879.5)     		ty = 57879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75483 / 57879 ti = "17/75483/57879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75483/57879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75483 ÷ 217
    75483 ÷ 131072     		x = 0.575889587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57879 ÷ 217
    57879 ÷ 131072     		y = 0.441581726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575889587402344 × 2 - 1) × π
    0.151779174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.47682834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441581726074219 × 2 - 1) × π
    0.116836547851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.36705284039077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47682834} λ = 0.47682834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36705284039077))-π/2
    2×atan(1.44347419084036)-π/2
    2×0.964937158222564-π/2
    1.92987431644513-1.57079632675     		φ = 0.35907799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47682834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.320251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35907799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.573653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75483 KachelY 57879 0.47682834 0.35907799 27.320251 20.573653
    Oben rechts KachelX + 1 75484 KachelY 57879 0.47687628 0.35907799 27.322998 20.573653
    Unten links KachelX 75483 KachelY + 1 57880 0.47682834 0.35903311 27.320251 20.571082
    Unten rechts KachelX + 1 75484 KachelY + 1 57880 0.47687628 0.35903311 27.322998 20.571082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35907799-0.35903311) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35907799-0.35903311) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47682834-0.47687628) × cos(0.35907799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936221226193679 × 6371000     		do = 285.946060813724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47682834-0.47687628) × cos(0.35903311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936236996584442 × 6371000     		du = 285.950877496993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35907799)-sin(0.35903311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936221226193679-0.936236996584442)×R²
    abs(0.47687628-0.47682834)×1.5770390762726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5770390762726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5770390762726e-05×40589641000000     		ar = 81761.3830546524m²