Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75481 / 57784
↖ ↑ ↗
← N 20.817741°
E 27.314758°		 ← 285.43 m → N 20.817741°
E 27.317505°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.815174°
E 27.314758°		 ← 285.43 m →
81 467 m²		 N 20.815174°
E 27.317505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575878143310547 y=0.440860748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575878143310547 × 217)
    floor (0.575878143310547 × 131072)
    floor (75481.5)     		tx = 75481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440860748291016 × 217)
    floor (0.440860748291016 × 131072)
    floor (57784.5)     		ty = 57784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75481 / 57784 ti = "17/75481/57784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75481/57784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75481 ÷ 217
    75481 ÷ 131072     		x = 0.575874328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57784 ÷ 217
    57784 ÷ 131072     		y = 0.44085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575874328613281 × 2 - 1) × π
    0.151748657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.47673247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    0.1182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371606845854675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47673247} λ = 0.47673247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371606845854675))-π/2
    2×atan(1.45006277102083)-π/2
    2×0.967067225203862-π/2
    1.93413445040772-1.57079632675     		φ = 0.36333812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47673247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.314758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36333812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.817741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75481 KachelY 57784 0.47673247 0.36333812 27.314758 20.817741
    Oben rechts KachelX + 1 75482 KachelY 57784 0.47678040 0.36333812 27.317505 20.817741
    Unten links KachelX 75481 KachelY + 1 57785 0.47673247 0.36329332 27.314758 20.815174
    Unten rechts KachelX + 1 75482 KachelY + 1 57785 0.47678040 0.36329332 27.317505 20.815174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36333812-0.36329332) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36333812-0.36329332) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47673247-0.47678040) × cos(0.36333812) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.934715677832835 × 6371000     		do = 285.426676855705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47673247-0.47678040) × cos(0.36329332) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.934731598653574 × 6371000     		du = 285.431538469845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36333812)-sin(0.36329332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934715677832835-0.934731598653574)×R²
    abs(0.47678040-0.47673247)×1.59208207390904e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59208207390904e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59208207390904e-05×40589641000000     		ar = 81467.4042660611m²