Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75480 / 61206
↖ ↑ ↗
← N 11.808211°
E 27.312012°		 ← 298.96 m → N 11.808211°
E 27.314758°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.805523°
E 27.312012°		 ← 298.97 m →
89 368 m²		 N 11.805523°
E 27.314758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575870513916016 y=0.466968536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575870513916016 × 217)
    floor (0.575870513916016 × 131072)
    floor (75480.5)     		tx = 75480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466968536376953 × 217)
    floor (0.466968536376953 × 131072)
    floor (61206.5)     		ty = 61206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75480 / 61206 ti = "17/75480/61206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75480/61206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75480 ÷ 217
    75480 ÷ 131072     		x = 0.57586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61206 ÷ 217
    61206 ÷ 131072     		y = 0.466964721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466964721679688 × 2 - 1) × π
    0.066070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.207566775354843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47668453} λ = 0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207566775354843))-π/2
    2×atan(1.23067989318295)-π/2
    2×0.888444245538421-π/2
    1.77688849107684-1.57079632675     		φ = 0.20609216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20609216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.808211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75480 KachelY 61206 0.47668453 0.20609216 27.312012 11.808211
    Oben rechts KachelX + 1 75481 KachelY 61206 0.47673247 0.20609216 27.314758 11.808211
    Unten links KachelX 75480 KachelY + 1 61207 0.47668453 0.20604524 27.312012 11.805523
    Unten rechts KachelX + 1 75481 KachelY + 1 61207 0.47673247 0.20604524 27.314758 11.805523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20609216-0.20604524) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20609216-0.20604524) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47668453-0.47673247) × cos(0.20609216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978838072735838 × 6371000     		do = 298.962342705667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47668453-0.47673247) × cos(0.20604524) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978847673194966 × 6371000     		du = 298.965274933001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20609216)-sin(0.20604524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978838072735838-0.978847673194966)×R²
    abs(0.47673247-0.47668453)×9.600459128567e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.600459128567e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.600459128567e-06×40589641000000     		ar = 89368.4501637622m²