Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75480 / 55407
↖ ↑ ↗
← N 26.787299°
E 27.312012°		 ← 272.65 m → N 26.787299°
E 27.314758°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.784848°
E 27.312012°		 ← 272.66 m →
74 329 m²		 N 26.784848°
E 27.314758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575870513916016 y=0.422725677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575870513916016 × 217)
    floor (0.575870513916016 × 131072)
    floor (75480.5)     		tx = 75480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422725677490234 × 217)
    floor (0.422725677490234 × 131072)
    floor (55407.5)     		ty = 55407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75480 / 55407 ti = "17/75480/55407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75480/55407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75480 ÷ 217
    75480 ÷ 131072     		x = 0.57586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55407 ÷ 217
    55407 ÷ 131072     		y = 0.422721862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422721862792969 × 2 - 1) × π
    0.154556274414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.485552856251549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47668453} λ = 0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485552856251549))-π/2
    2×atan(1.6250731924118)-π/2
    2×1.01916144796302-π/2
    2.03832289592605-1.57079632675     		φ = 0.46752657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46752657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.787299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75480 KachelY 55407 0.47668453 0.46752657 27.312012 26.787299
    Oben rechts KachelX + 1 75481 KachelY 55407 0.47673247 0.46752657 27.314758 26.787299
    Unten links KachelX 75480 KachelY + 1 55408 0.47668453 0.46748378 27.312012 26.784848
    Unten rechts KachelX + 1 75481 KachelY + 1 55408 0.47673247 0.46748378 27.314758 26.784848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46752657-0.46748378) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46752657-0.46748378) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47668453-0.47673247) × cos(0.46752657) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892685742336194 × 6371000     		do = 272.649203440618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47668453-0.47673247) × cos(0.46748378) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892705026102043 × 6371000     		du = 272.655093199073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46752657)-sin(0.46748378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892685742336194-0.892705026102043)×R²
    abs(0.47673247-0.47668453)×1.9283765849476e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9283765849476e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9283765849476e-05×40589641000000     		ar = 74329.089964157m²