Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7548 / 7068
↖ ↑ ↗
← N 23.966176°
W 14.150391°		 ← 2 232.63 m → N 23.966176°
W 14.128418°		 →
↑
2 232.78 m
↓
↑
2 232.78 m
↓
N 23.946096°
W 14.150391°		 ← 2 232.98 m →
4 985 366 m²		 N 23.946096°
W 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460723876953125 y=0.431427001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460723876953125 × 214)
    floor (0.460723876953125 × 16384)
    floor (7548.5)     		tx = 7548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431427001953125 × 214)
    floor (0.431427001953125 × 16384)
    floor (7068.5)     		ty = 7068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7548 / 7068 ti = "14/7548/7068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7548/7068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7548 ÷ 214
    7548 ÷ 16384     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7068 ÷ 214
    7068 ÷ 16384     		y = 0.431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.431048601383545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431048601383545))-π/2
    2×atan(1.53887033936701)-π/2
    2×0.994542502424617-π/2
    1.98908500484923-1.57079632675     		φ = 0.41828868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41828868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.966176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7548 KachelY 7068 -0.24697091 0.41828868 -14.150391 23.966176
    Oben rechts KachelX + 1 7549 KachelY 7068 -0.24658741 0.41828868 -14.128418 23.966176
    Unten links KachelX 7548 KachelY + 1 7069 -0.24697091 0.41793822 -14.150391 23.946096
    Unten rechts KachelX + 1 7549 KachelY + 1 7069 -0.24658741 0.41793822 -14.128418 23.946096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41828868-0.41793822) × R
    0.000350459999999997 × 6371000     		dl = 2232.78065999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41828868-0.41793822) × R
    0.000350459999999997 × 6371000     		dr = 2232.78065999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24658741) × cos(0.41828868) × R
    0.000383499999999981 × 0.913785411547057 × 6371000     		do = 2232.63224964647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24658741) × cos(0.41793822) × R
    0.000383499999999981 × 0.913927711322595 × 6371000     		du = 2232.97992762859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41828868)-sin(0.41793822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913785411547057-0.913927711322595)×R²
    abs(-0.24658741--0.24697091)×0.000142299775537369×R²
    0.000383499999999981×0.000142299775537369×6371000²
    0.000383499999999981×0.000142299775537369×40589641000000     		ar = 4985366.30326561m²