Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7548 / 4995
↖ ↑ ↗
← N 57.290918°
W 14.150391°		 ← 1 320.28 m → N 57.290918°
W 14.128418°		 →
↑
1 320.45 m
↓
↑
1 320.45 m
↓
N 57.279043°
W 14.150391°		 ← 1 320.71 m →
1 743 654 m²		 N 57.279043°
W 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460723876953125 y=0.304901123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460723876953125 × 214)
    floor (0.460723876953125 × 16384)
    floor (7548.5)     		tx = 7548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304901123046875 × 214)
    floor (0.304901123046875 × 16384)
    floor (4995.5)     		ty = 4995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7548 / 4995 ti = "14/7548/4995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7548/4995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7548 ÷ 214
    7548 ÷ 16384     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4995 ÷ 214
    4995 ÷ 16384     		y = 0.30487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30487060546875 × 2 - 1) × π
    0.3902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22603414468256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22603414468256))-π/2
    2×atan(3.40768830397312)-π/2
    2×1.28535573978555-π/2
    2.5707114795711-1.57079632675     		φ = 0.99991515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99991515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.290918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7548 KachelY 4995 -0.24697091 0.99991515 -14.150391 57.290918
    Oben rechts KachelX + 1 7549 KachelY 4995 -0.24658741 0.99991515 -14.128418 57.290918
    Unten links KachelX 7548 KachelY + 1 4996 -0.24697091 0.99970789 -14.150391 57.279043
    Unten rechts KachelX + 1 7549 KachelY + 1 4996 -0.24658741 0.99970789 -14.128418 57.279043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99991515-0.99970789) × R
    0.000207259999999931 × 6371000     		dl = 1320.45345999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99991515-0.99970789) × R
    0.000207259999999931 × 6371000     		dr = 1320.45345999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24658741) × cos(0.99991515) × R
    0.000383499999999981 × 0.540373702736156 × 6371000     		do = 1320.28344986058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24658741) × cos(0.99970789) × R
    0.000383499999999981 × 0.540548084902491 × 6371000     		du = 1320.70951405836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99991515)-sin(0.99970789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540373702736156-0.540548084902491)×R²
    abs(-0.24658741--0.24697091)×0.00017438216633503×R²
    0.000383499999999981×0.00017438216633503×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017438216633503×40589641000000     		ar = 1743654.15476342m²