Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75478 / 55378
↖ ↑ ↗
← N 26.858380°
E 27.306519°		 ← 272.42 m → N 26.858380°
E 27.309265°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 26.855930°
E 27.306519°		 ← 272.43 m →
74 232 m²		 N 26.855930°
E 27.309265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575855255126953 y=0.422504425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575855255126953 × 217)
    floor (0.575855255126953 × 131072)
    floor (75478.5)     		tx = 75478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422504425048828 × 217)
    floor (0.422504425048828 × 131072)
    floor (55378.5)     		ty = 55378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75478 / 55378 ti = "17/75478/55378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75478/55378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75478 ÷ 217
    75478 ÷ 131072     		x = 0.575851440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55378 ÷ 217
    55378 ÷ 131072     		y = 0.422500610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575851440429688 × 2 - 1) × π
    0.151702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47658866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422500610351562 × 2 - 1) × π
    0.154998779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.48694302634053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47658866} λ = 0.47658866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48694302634053))-π/2
    2×atan(1.62733389157039)-π/2
    2×1.01978174597775-π/2
    2.03956349195551-1.57079632675     		φ = 0.46876717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47658866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.306519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46876717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.858380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75478 KachelY 55378 0.47658866 0.46876717 27.306519 26.858380
    Oben rechts KachelX + 1 75479 KachelY 55378 0.47663659 0.46876717 27.309265 26.858380
    Unten links KachelX 75478 KachelY + 1 55379 0.47658866 0.46872440 27.306519 26.855930
    Unten rechts KachelX + 1 75479 KachelY + 1 55379 0.47663659 0.46872440 27.309265 26.855930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46876717-0.46872440) × R
    4.27700000000253e-05 × 6371000     		dl = 272.487670000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46876717-0.46872440) × R
    4.27700000000253e-05 × 6371000     		dr = 272.487670000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47658866-0.47663659) × cos(0.46876717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.892125942319325 × 6371000     		do = 272.421388762459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47658866-0.47663659) × cos(0.46872440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.892145264424329 × 6371000     		du = 272.427288999667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46876717)-sin(0.46872440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892125942319325-0.892145264424329)×R²
    abs(0.47663659-0.47658866)×1.93221050042158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93221050042158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93221050042158e-05×40589641000000     		ar = 74232.2733643128m²