Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75476 / 57796
↖ ↑ ↗
← N 20.786931°
E 27.301025°		 ← 285.54 m → N 20.786931°
E 27.303772°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 20.784363°
E 27.301025°		 ← 285.55 m →
81 537 m²		 N 20.784363°
E 27.303772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575839996337891 y=0.440952301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575839996337891 × 217)
    floor (0.575839996337891 × 131072)
    floor (75476.5)     		tx = 75476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440952301025391 × 217)
    floor (0.440952301025391 × 131072)
    floor (57796.5)     		ty = 57796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75476 / 57796 ti = "17/75476/57796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75476/57796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75476 ÷ 217
    75476 ÷ 131072     		x = 0.575836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57796 ÷ 217
    57796 ÷ 131072     		y = 0.440948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575836181640625 × 2 - 1) × π
    0.15167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47649278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    0.11810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.371031603059235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47649278} λ = 0.47649278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371031603059235))-π/2
    2×atan(1.44922887272885)-π/2
    2×0.966798353504435-π/2
    1.93359670700887-1.57079632675     		φ = 0.36280038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47649278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.301025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36280038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.786931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75476 KachelY 57796 0.47649278 0.36280038 27.301025 20.786931
    Oben rechts KachelX + 1 75477 KachelY 57796 0.47654072 0.36280038 27.303772 20.786931
    Unten links KachelX 75476 KachelY + 1 57797 0.47649278 0.36275556 27.301025 20.784363
    Unten rechts KachelX + 1 75477 KachelY + 1 57797 0.47654072 0.36275556 27.303772 20.784363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36280038-0.36275556) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36280038-0.36275556) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47649278-0.47654072) × cos(0.36280038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934906653540922 × 6371000     		do = 285.544556488472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47649278-0.47654072) × cos(0.36275556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934922558938201 × 6371000     		du = 285.549414406206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36280038)-sin(0.36275556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934906653540922-0.934922558938201)×R²
    abs(0.47654072-0.47649278)×1.59053972793588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59053972793588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59053972793588e-05×40589641000000     		ar = 81537.4334345691m²