Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75475 / 57901
↖ ↑ ↗
← N 20.517072°
E 27.298279°		 ← 285.99 m → N 20.517072°
E 27.301025°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.514499°
E 27.298279°		 ← 286 m →
81 811 m²		 N 20.514499°
E 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575832366943359 y=0.441753387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575832366943359 × 217)
    floor (0.575832366943359 × 131072)
    floor (75475.5)     		tx = 75475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441753387451172 × 217)
    floor (0.441753387451172 × 131072)
    floor (57901.5)     		ty = 57901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75475 / 57901 ti = "17/75475/57901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75475/57901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75475 ÷ 217
    75475 ÷ 131072     		x = 0.575828552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57901 ÷ 217
    57901 ÷ 131072     		y = 0.441749572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575828552246094 × 2 - 1) × π
    0.151657104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47644485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441749572753906 × 2 - 1) × π
    0.116500854492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.365998228599129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47644485} λ = 0.47644485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365998228599129))-π/2
    2×atan(1.44195268837601)-π/2
    2×0.964443391840524-π/2
    1.92888678368105-1.57079632675     		φ = 0.35809046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47644485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.298279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35809046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.517072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75475 KachelY 57901 0.47644485 0.35809046 27.298279 20.517072
    Oben rechts KachelX + 1 75476 KachelY 57901 0.47649278 0.35809046 27.301025 20.517072
    Unten links KachelX 75475 KachelY + 1 57902 0.47644485 0.35804556 27.298279 20.514499
    Unten rechts KachelX + 1 75476 KachelY + 1 57902 0.47649278 0.35804556 27.301025 20.514499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35809046-0.35804556) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35809046-0.35804556) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47644485-0.47649278) × cos(0.35809046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936567798708635 × 6371000     		do = 285.992244246475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47644485-0.47649278) × cos(0.35804556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936583534606605 × 6371000     		du = 285.997049392223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35809046)-sin(0.35804556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936567798708635-0.936583534606605)×R²
    abs(0.47649278-0.47644485)×1.57358979695488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57358979695488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57358979695488e-05×40589641000000     		ar = 81811.0280941983m²