Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75472 / 57871
↖ ↑ ↗
← N 20.594223°
E 27.290039°		 ← 285.91 m → N 20.594223°
E 27.292786°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.591652°
E 27.290039°		 ← 285.91 m →
81 732 m²		 N 20.591652°
E 27.292786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575809478759766 y=0.441524505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575809478759766 × 217)
    floor (0.575809478759766 × 131072)
    floor (75472.5)     		tx = 75472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441524505615234 × 217)
    floor (0.441524505615234 × 131072)
    floor (57871.5)     		ty = 57871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75472 / 57871 ti = "17/75472/57871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75472/57871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75472 ÷ 217
    75472 ÷ 131072     		x = 0.5758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57871 ÷ 217
    57871 ÷ 131072     		y = 0.441520690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441520690917969 × 2 - 1) × π
    0.116958618164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.36743633558773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47630103} λ = 0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36743633558773))-π/2
    2×atan(1.44402786241789)-π/2
    2×0.965116664294706-π/2
    1.93023332858941-1.57079632675     		φ = 0.35943700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35943700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.594223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75472 KachelY 57871 0.47630103 0.35943700 27.290039 20.594223
    Oben rechts KachelX + 1 75473 KachelY 57871 0.47634897 0.35943700 27.292786 20.594223
    Unten links KachelX 75472 KachelY + 1 57872 0.47630103 0.35939213 27.290039 20.591652
    Unten rechts KachelX + 1 75473 KachelY + 1 57872 0.47634897 0.35939213 27.292786 20.591652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35943700-0.35939213) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35943700-0.35939213) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47630103-0.47634897) × cos(0.35943700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936095005735655 × 6371000     		do = 285.907509836929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47630103-0.47634897) × cos(0.35939213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936110787693217 × 6371000     		du = 285.912330052996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35943700)-sin(0.35939213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936095005735655-0.936110787693217)×R²
    abs(0.47634897-0.47630103)×1.57819575622442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57819575622442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57819575622442e-05×40589641000000     		ar = 81732.1453393762m²