Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75471 / 57873
↖ ↑ ↗
← N 20.589081°
E 27.287293°		 ← 285.86 m → N 20.589081°
E 27.290039°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.586510°
E 27.287293°		 ← 285.86 m →
81 718 m²		 N 20.586510°
E 27.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575801849365234 y=0.441539764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575801849365234 × 217)
    floor (0.575801849365234 × 131072)
    floor (75471.5)     		tx = 75471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441539764404297 × 217)
    floor (0.441539764404297 × 131072)
    floor (57873.5)     		ty = 57873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75471 / 57873 ti = "17/75471/57873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75471/57873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75471 ÷ 217
    75471 ÷ 131072     		x = 0.575798034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57873 ÷ 217
    57873 ÷ 131072     		y = 0.441535949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575798034667969 × 2 - 1) × π
    0.151596069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47625310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441535949707031 × 2 - 1) × π
    0.116928100585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.36734046178849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47625310} λ = 0.47625310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36734046178849))-π/2
    2×atan(1.4438894246169)-π/2
    2×0.965071790045821-π/2
    1.93014358009164-1.57079632675     		φ = 0.35934725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47625310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.287293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35934725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.589081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75471 KachelY 57873 0.47625310 0.35934725 27.287293 20.589081
    Oben rechts KachelX + 1 75472 KachelY 57873 0.47630103 0.35934725 27.290039 20.589081
    Unten links KachelX 75471 KachelY + 1 57874 0.47625310 0.35930238 27.287293 20.586510
    Unten rechts KachelX + 1 75472 KachelY + 1 57874 0.47630103 0.35930238 27.290039 20.586510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35934725-0.35930238) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35934725-0.35930238) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47625310-0.47630103) × cos(0.35934725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936126571282724 × 6371000     		do = 285.857510144007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47625310-0.47630103) × cos(0.35930238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936142349470459 × 6371000     		du = 285.862328203444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35934725)-sin(0.35930238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936126571282724-0.936142349470459)×R²
    abs(0.47630103-0.47625310)×1.57781877351271e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57781877351271e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57781877351271e-05×40589641000000     		ar = 81717.8517804636m²