Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75470 / 57870
↖ ↑ ↗
← N 20.596794°
E 27.284546°		 ← 285.90 m → N 20.596794°
E 27.287293°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.594223°
E 27.284546°		 ← 285.91 m →
81 731 m²		 N 20.594223°
E 27.287293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575794219970703 y=0.441516876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575794219970703 × 217)
    floor (0.575794219970703 × 131072)
    floor (75470.5)     		tx = 75470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441516876220703 × 217)
    floor (0.441516876220703 × 131072)
    floor (57870.5)     		ty = 57870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75470 / 57870 ti = "17/75470/57870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75470/57870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75470 ÷ 217
    75470 ÷ 131072     		x = 0.575790405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57870 ÷ 217
    57870 ÷ 131072     		y = 0.441513061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575790405273438 × 2 - 1) × π
    0.151580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47620516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441513061523438 × 2 - 1) × π
    0.116973876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.36748427248735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47620516} λ = 0.47620516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36748427248735))-π/2
    2×atan(1.44409708629576)-π/2
    2×0.965139100851686-π/2
    1.93027820170337-1.57079632675     		φ = 0.35948187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47620516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.284546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35948187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.596794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75470 KachelY 57870 0.47620516 0.35948187 27.284546 20.596794
    Oben rechts KachelX + 1 75471 KachelY 57870 0.47625310 0.35948187 27.287293 20.596794
    Unten links KachelX 75470 KachelY + 1 57871 0.47620516 0.35943700 27.284546 20.594223
    Unten rechts KachelX + 1 75471 KachelY + 1 57871 0.47625310 0.35943700 27.287293 20.594223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35948187-0.35943700) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35948187-0.35943700) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47620516-0.47625310) × cos(0.35948187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936079221893437 × 6371000     		do = 285.90268904524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47620516-0.47625310) × cos(0.35943700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936095005735655 × 6371000     		du = 285.907509836929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35948187)-sin(0.35943700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936079221893437-0.936095005735655)×R²
    abs(0.47625310-0.47620516)×1.578384221812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.578384221812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.578384221812e-05×40589641000000     		ar = 81730.7673174642m²