Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7547 / 5103
↖ ↑ ↗
← N 55.986091°
W 14.172363°		 ← 1 366.72 m → N 55.986091°
W 14.150391°		 →
↑
1 366.96 m
↓
↑
1 366.96 m
↓
N 55.973798°
W 14.172363°		 ← 1 367.15 m →
1 868 551 m²		 N 55.973798°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460662841796875 y=0.311492919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460662841796875 × 214)
    floor (0.460662841796875 × 16384)
    floor (7547.5)     		tx = 7547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311492919921875 × 214)
    floor (0.311492919921875 × 16384)
    floor (5103.5)     		ty = 5103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7547 / 5103 ti = "14/7547/5103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7547/5103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7547 ÷ 214
    7547 ÷ 16384     		x = 0.46063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5103 ÷ 214
    5103 ÷ 16384     		y = 0.31146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31146240234375 × 2 - 1) × π
    0.3770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18461666341083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24735440} λ = -0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18461666341083))-π/2
    2×atan(3.26943328781357)-π/2
    2×1.27396897968192-π/2
    2.54793795936383-1.57079632675     		φ = 0.97714163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97714163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.986091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7547 KachelY 5103 -0.24735440 0.97714163 -14.172363 55.986091
    Oben rechts KachelX + 1 7548 KachelY 5103 -0.24697091 0.97714163 -14.150391 55.986091
    Unten links KachelX 7547 KachelY + 1 5104 -0.24735440 0.97692707 -14.172363 55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 7548 KachelY + 1 5104 -0.24697091 0.97692707 -14.150391 55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97714163-0.97692707) × R
    0.000214559999999975 × 6371000     		dl = 1366.96175999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97714163-0.97692707) × R
    0.000214559999999975 × 6371000     		dr = 1366.96175999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24735440--0.24697091) × cos(0.97714163) × R
    0.000383490000000014 × 0.559394136789309 × 6371000     		do = 1366.72002844297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24735440--0.24697091) × cos(0.97692707) × R
    0.000383490000000014 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 1367.15452070532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97714163)-sin(0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559394136789309-0.559571973082755)×R²
    abs(-0.24697091--0.24735440)×0.000177836293446476×R²
    0.000383490000000014×0.000177836293446476×6371000²
    0.000383490000000014×0.000177836293446476×40589641000000     		ar = 1868550.98983067m²