Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7547 / 3419
↖ ↑ ↗
← N 71.780812°
W 14.172363°		 ← 763.88 m → N 71.780812°
W 14.150391°		 →
↑
764.01 m
↓
↑
764.01 m
↓
N 71.773941°
W 14.172363°		 ← 764.16 m →
583 717 m²		 N 71.773941°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460662841796875 y=0.208709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460662841796875 × 214)
    floor (0.460662841796875 × 16384)
    floor (7547.5)     		tx = 7547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208709716796875 × 214)
    floor (0.208709716796875 × 16384)
    floor (3419.5)     		ty = 3419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7547 / 3419 ti = "14/7547/3419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7547/3419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7547 ÷ 214
    7547 ÷ 16384     		x = 0.46063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3419 ÷ 214
    3419 ÷ 16384     		y = 0.20867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20867919921875 × 2 - 1) × π
    0.5826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83042257509222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24735440} λ = -0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83042257509222))-π/2
    2×atan(6.23652150042443)-π/2
    2×1.41180391888793-π/2
    2.82360783777586-1.57079632675     		φ = 1.25281151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25281151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.780812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7547 KachelY 3419 -0.24735440 1.25281151 -14.172363 71.780812
    Oben rechts KachelX + 1 7548 KachelY 3419 -0.24697091 1.25281151 -14.150391 71.780812
    Unten links KachelX 7547 KachelY + 1 3420 -0.24735440 1.25269159 -14.172363 71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 7548 KachelY + 1 3420 -0.24697091 1.25269159 -14.150391 71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25281151-1.25269159) × R
    0.00011991999999994 × 6371000     		dl = 764.010319999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25281151-1.25269159) × R
    0.00011991999999994 × 6371000     		dr = 764.010319999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24735440--0.24697091) × cos(1.25281151) × R
    0.000383490000000014 × 0.312653039917179 × 6371000     		do = 763.878531264141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24735440--0.24697091) × cos(1.25269159) × R
    0.000383490000000014 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 764.156827721952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25281151)-sin(1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312653039917179-0.312766945767353)×R²
    abs(-0.24697091--0.24735440)×0.000113905850173401×R²
    0.000383490000000014×0.000113905850173401×6371000²
    0.000383490000000014×0.000113905850173401×40589641000000     		ar = 583717.392494498m²