Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75468 / 57884
↖ ↑ ↗
← N 20.560796°
E 27.279053°		 ← 285.91 m → N 20.560796°
E 27.281799°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.558224°
E 27.279053°		 ← 285.92 m →
81 751 m²		 N 20.558224°
E 27.281799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575778961181641 y=0.441623687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575778961181641 × 217)
    floor (0.575778961181641 × 131072)
    floor (75468.5)     		tx = 75468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441623687744141 × 217)
    floor (0.441623687744141 × 131072)
    floor (57884.5)     		ty = 57884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75468 / 57884 ti = "17/75468/57884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75468/57884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75468 ÷ 217
    75468 ÷ 131072     		x = 0.575775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57884 ÷ 217
    57884 ÷ 131072     		y = 0.441619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575775146484375 × 2 - 1) × π
    0.15155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47610929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441619873046875 × 2 - 1) × π
    0.11676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.36681315589267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47610929} λ = 0.47610929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36681315589267))-π/2
    2×atan(1.44312825391292)-π/2
    2×0.964824954640871-π/2
    1.92964990928174-1.57079632675     		φ = 0.35885358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47610929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35885358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.560796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75468 KachelY 57884 0.47610929 0.35885358 27.279053 20.560796
    Oben rechts KachelX + 1 75469 KachelY 57884 0.47615722 0.35885358 27.281799 20.560796
    Unten links KachelX 75468 KachelY + 1 57885 0.47610929 0.35880870 27.279053 20.558224
    Unten rechts KachelX + 1 75469 KachelY + 1 57885 0.47615722 0.35880870 27.281799 20.558224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35885358-0.35880870) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35885358-0.35880870) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47610929-0.47615722) × cos(0.35885358) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.936300062801366 × 6371000     		do = 285.910487865996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47610929-0.47615722) × cos(0.35880870) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.93631582376248 × 6371000     		du = 285.915300665077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35885358)-sin(0.35880870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936300062801366-0.93631582376248)×R²
    abs(0.47615722-0.47610929)×1.57609611146636e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.57609611146636e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.57609611146636e-05×40589641000000     		ar = 81751.2111093374m²