Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75465 / 57897
↖ ↑ ↗
← N 20.527361°
E 27.270813°		 ← 285.97 m → N 20.527361°
E 27.273559°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.524789°
E 27.270813°		 ← 285.98 m →
81 806 m²		 N 20.524789°
E 27.273559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575756072998047 y=0.441722869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575756072998047 × 217)
    floor (0.575756072998047 × 131072)
    floor (75465.5)     		tx = 75465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441722869873047 × 217)
    floor (0.441722869873047 × 131072)
    floor (57897.5)     		ty = 57897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75465 / 57897 ti = "17/75465/57897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75465/57897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75465 ÷ 217
    75465 ÷ 131072     		x = 0.575752258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57897 ÷ 217
    57897 ÷ 131072     		y = 0.441719055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575752258300781 × 2 - 1) × π
    0.151504516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.47596548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441719055175781 × 2 - 1) × π
    0.116561889648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.366189976197609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47596548} λ = 0.47596548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366189976197609))-π/2
    2×atan(1.44222920585106)-π/2
    2×0.964533181136078-π/2
    1.92906636227216-1.57079632675     		φ = 0.35827004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47596548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.270813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35827004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.527361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75465 KachelY 57897 0.47596548 0.35827004 27.270813 20.527361
    Oben rechts KachelX + 1 75466 KachelY 57897 0.47601341 0.35827004 27.273559 20.527361
    Unten links KachelX 75465 KachelY + 1 57898 0.47596548 0.35822514 27.270813 20.524789
    Unten rechts KachelX + 1 75466 KachelY + 1 57898 0.47601341 0.35822514 27.273559 20.524789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35827004-0.35822514) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35827004-0.35822514) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47596548-0.47601341) × cos(0.35827004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936504843248867 × 6371000     		do = 285.973020039481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47596548-0.47601341) × cos(0.35822514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936520586698326 × 6371000     		du = 285.977827491167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35827004)-sin(0.35822514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936504843248867-0.936520586698326)×R²
    abs(0.47601341-0.47596548)×1.57434494583164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57434494583164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57434494583164e-05×40589641000000     		ar = 81805.5291877166m²