Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75464 / 55381
↖ ↑ ↗
← N 26.851029°
E 27.268066°		 ← 272.50 m → N 26.851029°
E 27.270813°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 26.848578°
E 27.268066°		 ← 272.50 m →
74 253 m²		 N 26.848578°
E 27.270813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575748443603516 y=0.422527313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575748443603516 × 217)
    floor (0.575748443603516 × 131072)
    floor (75464.5)     		tx = 75464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422527313232422 × 217)
    floor (0.422527313232422 × 131072)
    floor (55381.5)     		ty = 55381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75464 / 55381 ti = "17/75464/55381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75464/55381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75464 ÷ 217
    75464 ÷ 131072     		x = 0.57574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55381 ÷ 217
    55381 ÷ 131072     		y = 0.422523498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57574462890625 × 2 - 1) × π
    0.1514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47591754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422523498535156 × 2 - 1) × π
    0.154953002929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.48679921564167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47591754} λ = 0.47591754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48679921564167))-π/2
    2×atan(1.62709988037323)-π/2
    2×1.01971759526619-π/2
    2.03943519053237-1.57079632675     		φ = 0.46863886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47591754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46863886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.851029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75464 KachelY 55381 0.47591754 0.46863886 27.268066 26.851029
    Oben rechts KachelX + 1 75465 KachelY 55381 0.47596548 0.46863886 27.270813 26.851029
    Unten links KachelX 75464 KachelY + 1 55382 0.47591754 0.46859609 27.268066 26.848578
    Unten rechts KachelX + 1 75465 KachelY + 1 55382 0.47596548 0.46859609 27.270813 26.848578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46863886-0.46859609) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46863886-0.46859609) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47591754-0.47596548) × cos(0.46863886) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892183903738371 × 6371000     		do = 272.495929015517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47591754-0.47596548) × cos(0.46859609) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892203220947337 × 6371000     		du = 272.501828988361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46863886)-sin(0.46859609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892183903738371-0.892203220947337)×R²
    abs(0.47596548-0.47591754)×1.93172089666405e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93172089666405e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93172089666405e-05×40589641000000     		ar = 74252.584628069m²