Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75462 / 54713
↖ ↑ ↗
← N 28.475934°
E 27.262573°		 ← 268.42 m → N 28.475934°
E 27.265320°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.473520°
E 27.262573°		 ← 268.42 m →
72 047 m²		 N 28.473520°
E 27.265320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575733184814453 y=0.417430877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575733184814453 × 217)
    floor (0.575733184814453 × 131072)
    floor (75462.5)     		tx = 75462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417430877685547 × 217)
    floor (0.417430877685547 × 131072)
    floor (54713.5)     		ty = 54713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75462 / 54713 ti = "17/75462/54713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75462/54713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75462 ÷ 217
    75462 ÷ 131072     		x = 0.575729370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54713 ÷ 217
    54713 ÷ 131072     		y = 0.417427062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575729370117188 × 2 - 1) × π
    0.151458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47582167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417427062988281 × 2 - 1) × π
    0.165145874023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.518821064587868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47582167} λ = 0.47582167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518821064587868))-π/2
    2×atan(1.68004581619486)-π/2
    2×1.03389757005116-π/2
    2.06779514010232-1.57079632675     		φ = 0.49699881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47582167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.262573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49699881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.475934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75462 KachelY 54713 0.47582167 0.49699881 27.262573 28.475934
    Oben rechts KachelX + 1 75463 KachelY 54713 0.47586960 0.49699881 27.265320 28.475934
    Unten links KachelX 75462 KachelY + 1 54714 0.47582167 0.49695668 27.262573 28.473520
    Unten rechts KachelX + 1 75463 KachelY + 1 54714 0.47586960 0.49695668 27.265320 28.473520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49699881-0.49695668) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49699881-0.49695668) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47582167-0.47586960) × cos(0.49699881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879017454610441 × 6371000     		do = 268.418554345441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47582167-0.47586960) × cos(0.49695668) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879037540975821 × 6371000     		du = 268.424687958749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49699881)-sin(0.49695668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879017454610441-0.879037540975821)×R²
    abs(0.47586960-0.47582167)×2.00863653805339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00863653805339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00863653805339e-05×40589641000000     		ar = 72047.1090811423m²