Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75460 / 55878
↖ ↑ ↗
← N 25.626669°
E 27.257080°		 ← 275.38 m → N 25.626669°
E 27.259827°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.624193°
E 27.257080°		 ← 275.39 m →
75 828 m²		 N 25.624193°
E 27.259827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575717926025391 y=0.426319122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575717926025391 × 217)
    floor (0.575717926025391 × 131072)
    floor (75460.5)     		tx = 75460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426319122314453 × 217)
    floor (0.426319122314453 × 131072)
    floor (55878.5)     		ty = 55878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75460 / 55878 ti = "17/75460/55878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75460/55878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75460 ÷ 217
    75460 ÷ 131072     		x = 0.575714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55878 ÷ 217
    55878 ÷ 131072     		y = 0.426315307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575714111328125 × 2 - 1) × π
    0.15142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47572579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426315307617188 × 2 - 1) × π
    0.147369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.462974576530502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47572579} λ = 0.47572579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462974576530502))-π/2
    2×atan(1.58879294927353)-π/2
    2×1.00903303745221-π/2
    2.01806607490442-1.57079632675     		φ = 0.44726975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47572579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44726975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.626669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75460 KachelY 55878 0.47572579 0.44726975 27.257080 25.626669
    Oben rechts KachelX + 1 75461 KachelY 55878 0.47577373 0.44726975 27.259827 25.626669
    Unten links KachelX 75460 KachelY + 1 55879 0.47572579 0.44722653 27.257080 25.624193
    Unten rechts KachelX + 1 75461 KachelY + 1 55879 0.47577373 0.44722653 27.259827 25.624193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44726975-0.44722653) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44726975-0.44722653) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47572579-0.47577373) × cos(0.44726975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901631309443178 × 6371000     		do = 275.38140989399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47572579-0.47577373) × cos(0.44722653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901650001487489 × 6371000     		du = 275.387118925456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44726975)-sin(0.44722653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901631309443178-0.901650001487489)×R²
    abs(0.47577373-0.47572579)×1.86920443108196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86920443108196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86920443108196e-05×40589641000000     		ar = 75828.3294923563m²