Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7546 / 5104
↖ ↑ ↗
← N 55.973798°
W 14.194336°		 ← 1 367.19 m → N 55.973798°
W 14.172363°		 →
↑
1 367.34 m
↓
↑
1 367.34 m
↓
N 55.961501°
W 14.194336°		 ← 1 367.62 m →
1 869 716 m²		 N 55.961501°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460601806640625 y=0.311553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460601806640625 × 214)
    floor (0.460601806640625 × 16384)
    floor (7546.5)     		tx = 7546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311553955078125 × 214)
    floor (0.311553955078125 × 16384)
    floor (5104.5)     		ty = 5104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7546 / 5104 ti = "14/7546/5104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7546/5104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7546 ÷ 214
    7546 ÷ 16384     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5104 ÷ 214
    5104 ÷ 16384     		y = 0.3115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3115234375 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18423316821387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18423316821387))-π/2
    2×atan(3.26817971623561)-π/2
    2×1.27386170015072-π/2
    2.54772340030143-1.57079632675     		φ = 0.97692707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97692707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.973798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7546 KachelY 5104 -0.24773790 0.97692707 -14.194336 55.973798
    Oben rechts KachelX + 1 7547 KachelY 5104 -0.24735440 0.97692707 -14.172363 55.973798
    Unten links KachelX 7546 KachelY + 1 5105 -0.24773790 0.97671245 -14.194336 55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 7547 KachelY + 1 5105 -0.24735440 0.97671245 -14.172363 55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97692707-0.97671245) × R
    0.000214620000000054 × 6371000     		dl = 1367.34402000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97692707-0.97671245) × R
    0.000214620000000054 × 6371000     		dr = 1367.34402000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(0.97692707) × R
    0.000383500000000009 × 0.559571973082755 × 6371000     		do = 1367.19017103571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(0.97671245) × R
    0.000383500000000009 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 1367.62473316712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97692707)-sin(0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559571973082755-0.55974983333545)×R²
    abs(-0.24735440--0.24773790)×0.000177860252694617×R²
    0.000383500000000009×0.000177860252694617×6371000²
    0.000383500000000009×0.000177860252694617×40589641000000     		ar = 1869716.40971109m²