Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7546 / 5021
↖ ↑ ↗
← N 56.980912°
W 14.194336°		 ← 1 331.39 m → N 56.980912°
W 14.172363°		 →
↑
1 331.60 m
↓
↑
1 331.60 m
↓
N 56.968936°
W 14.194336°		 ← 1 331.82 m →
1 773 164 m²		 N 56.968936°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460601806640625 y=0.306488037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460601806640625 × 214)
    floor (0.460601806640625 × 16384)
    floor (7546.5)     		tx = 7546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306488037109375 × 214)
    floor (0.306488037109375 × 16384)
    floor (5021.5)     		ty = 5021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7546 / 5021 ti = "14/7546/5021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7546/5021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7546 ÷ 214
    7546 ÷ 16384     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5021 ÷ 214
    5021 ÷ 16384     		y = 0.30645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30645751953125 × 2 - 1) × π
    0.3870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21606326956158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21606326956158))-π/2
    2×atan(3.37387950121896)-π/2
    2×1.28265042096076-π/2
    2.56530084192152-1.57079632675     		φ = 0.99450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.980912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7546 KachelY 5021 -0.24773790 0.99450452 -14.194336 56.980912
    Oben rechts KachelX + 1 7547 KachelY 5021 -0.24735440 0.99450452 -14.172363 56.980912
    Unten links KachelX 7546 KachelY + 1 5022 -0.24773790 0.99429551 -14.194336 56.968936
    Unten rechts KachelX + 1 7547 KachelY + 1 5022 -0.24735440 0.99429551 -14.172363 56.968936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99450452-0.99429551) × R
    0.000209009999999954 × 6371000     		dl = 1331.60270999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99450452-0.99429551) × R
    0.000209009999999954 × 6371000     		dr = 1331.60270999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(0.99450452) × R
    0.000383500000000009 × 0.54491841093451 × 6371000     		do = 1331.38743769048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(0.99429551) × R
    0.000383500000000009 × 0.545093651631938 × 6371000     		du = 1331.81559951883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99450452)-sin(0.99429551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54491841093451-0.545093651631938)×R²
    abs(-0.24735440--0.24773790)×0.000175240697427914×R²
    0.000383500000000009×0.000175240697427914×6371000²
    0.000383500000000009×0.000175240697427914×40589641000000     		ar = 1773164.19726862m²