Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7546 / 4315
↖ ↑ ↗
← N 64.520097°
W 14.194336°		 ← 1 051.08 m → N 64.520097°
W 14.172363°		 →
↑
1 051.21 m
↓
↑
1 051.21 m
↓
N 64.510643°
W 14.194336°		 ← 1 051.45 m →
1 105 108 m²		 N 64.510643°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460601806640625 y=0.263397216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460601806640625 × 214)
    floor (0.460601806640625 × 16384)
    floor (7546.5)     		tx = 7546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263397216796875 × 214)
    floor (0.263397216796875 × 16384)
    floor (4315.5)     		ty = 4315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7546 / 4315 ti = "14/7546/4315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7546/4315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7546 ÷ 214
    7546 ÷ 16384     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4315 ÷ 214
    4315 ÷ 16384     		y = 0.26336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26336669921875 × 2 - 1) × π
    0.4732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48681087861566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48681087861566))-π/2
    2×atan(4.42296762256196)-π/2
    2×1.34844222936021-π/2
    2.69688445872042-1.57079632675     		φ = 1.12608813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12608813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.520097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7546 KachelY 4315 -0.24773790 1.12608813 -14.194336 64.520097
    Oben rechts KachelX + 1 7547 KachelY 4315 -0.24735440 1.12608813 -14.172363 64.520097
    Unten links KachelX 7546 KachelY + 1 4316 -0.24773790 1.12592313 -14.194336 64.510643
    Unten rechts KachelX + 1 7547 KachelY + 1 4316 -0.24735440 1.12592313 -14.172363 64.510643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12608813-1.12592313) × R
    0.000164999999999971 × 6371000     		dl = 1051.21499999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12608813-1.12592313) × R
    0.000164999999999971 × 6371000     		dr = 1051.21499999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(1.12608813) × R
    0.000383500000000009 × 0.430194477292971 × 6371000     		do = 1051.08491718868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(1.12592313) × R
    0.000383500000000009 × 0.430343422915205 × 6371000     		du = 1051.44883282515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12608813)-sin(1.12592313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430194477292971-0.430343422915205)×R²
    abs(-0.24735440--0.24773790)×0.000148945622234387×R²
    0.000383500000000009×0.000148945622234387×6371000²
    0.000383500000000009×0.000148945622234387×40589641000000     		ar = 1105107.5105161m²