Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7546 / 3767
↖ ↑ ↗
← N 69.232789°
W 14.194336°		 ← 866.32 m → N 69.232789°
W 14.172363°		 →
↑
866.46 m
↓
↑
866.46 m
↓
N 69.224997°
W 14.194336°		 ← 866.63 m →
750 761 m²		 N 69.224997°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460601806640625 y=0.229949951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460601806640625 × 214)
    floor (0.460601806640625 × 16384)
    floor (7546.5)     		tx = 7546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229949951171875 × 214)
    floor (0.229949951171875 × 16384)
    floor (3767.5)     		ty = 3767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7546 / 3767 ti = "14/7546/3767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7546/3767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7546 ÷ 214
    7546 ÷ 16384     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3767 ÷ 214
    3767 ÷ 16384     		y = 0.22991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22991943359375 × 2 - 1) × π
    0.5401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69696624654999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69696624654999))-π/2
    2×atan(5.45736594966339)-π/2
    2×1.38956822378807-π/2
    2.77913644757615-1.57079632675     		φ = 1.20834012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20834012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.232789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7546 KachelY 3767 -0.24773790 1.20834012 -14.194336 69.232789
    Oben rechts KachelX + 1 7547 KachelY 3767 -0.24735440 1.20834012 -14.172363 69.232789
    Unten links KachelX 7546 KachelY + 1 3768 -0.24773790 1.20820412 -14.194336 69.224997
    Unten rechts KachelX + 1 7547 KachelY + 1 3768 -0.24735440 1.20820412 -14.172363 69.224997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20834012-1.20820412) × R
    0.000135999999999914 × 6371000     		dl = 866.455999999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20834012-1.20820412) × R
    0.000135999999999914 × 6371000     		dr = 866.455999999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(1.20834012) × R
    0.000383500000000009 × 0.354571924475146 × 6371000     		do = 866.317959773767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24735440) × cos(1.20820412) × R
    0.000383500000000009 × 0.354699085104731 × 6371000     		du = 866.628648606078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20834012)-sin(1.20820412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354571924475146-0.354699085104731)×R²
    abs(-0.24735440--0.24773790)×0.000127160629584788×R²
    0.000383500000000009×0.000127160629584788×6371000²
    0.000383500000000009×0.000127160629584788×40589641000000     		ar = 750760.994413047m²