Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75457 / 60607
↖ ↑ ↗
← N 13.413666°
E 27.248840°		 ← 297.09 m → N 13.413666°
E 27.251587°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.410994°
E 27.248840°		 ← 297.10 m →
88 261 m²		 N 13.410994°
E 27.251587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575695037841797 y=0.462398529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575695037841797 × 217)
    floor (0.575695037841797 × 131072)
    floor (75457.5)     		tx = 75457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462398529052734 × 217)
    floor (0.462398529052734 × 131072)
    floor (60607.5)     		ty = 60607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75457 / 60607 ti = "17/75457/60607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75457/60607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75457 ÷ 217
    75457 ÷ 131072     		x = 0.575691223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60607 ÷ 217
    60607 ÷ 131072     		y = 0.462394714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575691223144531 × 2 - 1) × π
    0.151382446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47558198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462394714355469 × 2 - 1) × π
    0.0752105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.236280978227257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47558198} λ = 0.47558198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236280978227257))-π/2
    2×atan(1.26653012756608)-π/2
    2×0.90245447906021-π/2
    1.80490895812042-1.57079632675     		φ = 0.23411263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47558198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.248840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23411263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.413666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75457 KachelY 60607 0.47558198 0.23411263 27.248840 13.413666
    Oben rechts KachelX + 1 75458 KachelY 60607 0.47562992 0.23411263 27.251587 13.413666
    Unten links KachelX 75457 KachelY + 1 60608 0.47558198 0.23406600 27.248840 13.410994
    Unten rechts KachelX + 1 75458 KachelY + 1 60608 0.47562992 0.23406600 27.251587 13.410994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23411263-0.23406600) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23411263-0.23406600) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47558198-0.47562992) × cos(0.23411263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972720576294302 × 6371000     		do = 297.093901827719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47558198-0.47562992) × cos(0.23406600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972731392460163 × 6371000     		du = 297.097205363181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23411263)-sin(0.23406600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972720576294302-0.972731392460163)×R²
    abs(0.47562992-0.47558198)×1.08161658604056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08161658604056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08161658604056e-05×40589641000000     		ar = 88261.0668623088m²