Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75457 / 59714
↖ ↑ ↗
← N 15.786967°
E 27.248840°		 ← 293.91 m → N 15.786967°
E 27.251587°		 →
↑
293.83 m
↓
↑
293.83 m
↓
N 15.784325°
E 27.248840°		 ← 293.91 m →
86 359 m²		 N 15.784325°
E 27.251587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575695037841797 y=0.455585479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575695037841797 × 217)
    floor (0.575695037841797 × 131072)
    floor (75457.5)     		tx = 75457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455585479736328 × 217)
    floor (0.455585479736328 × 131072)
    floor (59714.5)     		ty = 59714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75457 / 59714 ti = "17/75457/59714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75457/59714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75457 ÷ 217
    75457 ÷ 131072     		x = 0.575691223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59714 ÷ 217
    59714 ÷ 131072     		y = 0.455581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575691223144531 × 2 - 1) × π
    0.151382446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47558198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455581665039062 × 2 - 1) × π
    0.088836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.279088629587967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47558198} λ = 0.47558198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279088629587967))-π/2
    2×atan(1.32192450030148)-π/2
    2×0.923165445836592-π/2
    1.84633089167318-1.57079632675     		φ = 0.27553456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47558198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.248840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27553456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.786967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75457 KachelY 59714 0.47558198 0.27553456 27.248840 15.786967
    Oben rechts KachelX + 1 75458 KachelY 59714 0.47562992 0.27553456 27.251587 15.786967
    Unten links KachelX 75457 KachelY + 1 59715 0.47558198 0.27548844 27.248840 15.784325
    Unten rechts KachelX + 1 75458 KachelY + 1 59715 0.47562992 0.27548844 27.251587 15.784325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27553456-0.27548844) × R
    4.61199999999828e-05 × 6371000     		dl = 293.830519999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27553456-0.27548844) × R
    4.61199999999828e-05 × 6371000     		dr = 293.830519999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47558198-0.47562992) × cos(0.27553456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962279901995921 × 6371000     		do = 293.905051154039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47558198-0.47562992) × cos(0.27548844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962292448442989 × 6371000     		du = 293.908883161919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27553456)-sin(0.27548844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962279901995921-0.962292448442989)×R²
    abs(0.47562992-0.47558198)×1.25464470681624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25464470681624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25464470681624e-05×40589641000000     		ar = 86358.8370069884m²