Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75456 / 55614
↖ ↑ ↗
← N 26.278639°
E 27.246094°		 ← 273.86 m → N 26.278639°
E 27.248840°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.276177°
E 27.246094°		 ← 273.87 m →
74 991 m²		 N 26.276177°
E 27.248840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575687408447266 y=0.424304962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575687408447266 × 217)
    floor (0.575687408447266 × 131072)
    floor (75456.5)     		tx = 75456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424304962158203 × 217)
    floor (0.424304962158203 × 131072)
    floor (55614.5)     		ty = 55614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75456 / 55614 ti = "17/75456/55614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75456/55614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75456 ÷ 217
    75456 ÷ 131072     		x = 0.57568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55614 ÷ 217
    55614 ÷ 131072     		y = 0.424301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424301147460938 × 2 - 1) × π
    0.151397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.475629918030197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47553404} λ = 0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475629918030197))-π/2
    2×atan(1.60902743371597)-π/2
    2×1.01472255522552-π/2
    2.02944511045104-1.57079632675     		φ = 0.45864878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45864878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.278639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75456 KachelY 55614 0.47553404 0.45864878 27.246094 26.278639
    Oben rechts KachelX + 1 75457 KachelY 55614 0.47558198 0.45864878 27.248840 26.278639
    Unten links KachelX 75456 KachelY + 1 55615 0.47553404 0.45860580 27.246094 26.276177
    Unten rechts KachelX + 1 75457 KachelY + 1 55615 0.47558198 0.45860580 27.248840 26.276177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45864878-0.45860580) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45864878-0.45860580) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47553404-0.47558198) × cos(0.45864878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8966515508999 × 6371000     		do = 273.860463455887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47553404-0.47558198) × cos(0.45860580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896670578905305 × 6371000     		du = 273.866275098519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45864878)-sin(0.45860580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8966515508999-0.896670578905305)×R²
    abs(0.47558198-0.47553404)×1.90280054058745e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90280054058745e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90280054058745e-05×40589641000000     		ar = 74990.7959446494m²