Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75455 / 55609
↖ ↑ ↗
← N 26.290953°
E 27.243347°		 ← 273.77 m → N 26.290953°
E 27.246094°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.288490°
E 27.243347°		 ← 273.78 m →
74 967 m²		 N 26.288490°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575679779052734 y=0.424266815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575679779052734 × 217)
    floor (0.575679779052734 × 131072)
    floor (75455.5)     		tx = 75455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424266815185547 × 217)
    floor (0.424266815185547 × 131072)
    floor (55609.5)     		ty = 55609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75455 / 55609 ti = "17/75455/55609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75455/55609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75455 ÷ 217
    75455 ÷ 131072     		x = 0.575675964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55609 ÷ 217
    55609 ÷ 131072     		y = 0.424263000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575675964355469 × 2 - 1) × π
    0.151351928710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47548611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424263000488281 × 2 - 1) × π
    0.151473999023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.475869602528297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47548611} λ = 0.47548611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475869602528297))-π/2
    2×atan(1.60941313887078)-π/2
    2×1.01483000626167-π/2
    2.02966001252334-1.57079632675     		φ = 0.45886369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47548611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.243347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45886369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.290953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75455 KachelY 55609 0.47548611 0.45886369 27.243347 26.290953
    Oben rechts KachelX + 1 75456 KachelY 55609 0.47553404 0.45886369 27.246094 26.290953
    Unten links KachelX 75455 KachelY + 1 55610 0.47548611 0.45882071 27.243347 26.288490
    Unten rechts KachelX + 1 75456 KachelY + 1 55610 0.47553404 0.45882071 27.246094 26.288490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45886369-0.45882071) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45886369-0.45882071) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47548611-0.47553404) × cos(0.45886369) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896556381598774 × 6371000     		do = 273.774276694307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47548611-0.47553404) × cos(0.45882071) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896575417886048 × 6371000     		du = 273.780089653632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45886369)-sin(0.45882071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896556381598774-0.896575417886048)×R²
    abs(0.47553404-0.47548611)×1.90362872738437e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90362872738437e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90362872738437e-05×40589641000000     		ar = 74967.1959848649m²