Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7545 / 5023
↖ ↑ ↗
← N 56.956957°
W 14.216308°		 ← 1 332.21 m → N 56.956957°
W 14.194336°		 →
↑
1 332.43 m
↓
↑
1 332.43 m
↓
N 56.944974°
W 14.216308°		 ← 1 332.64 m →
1 775 362 m²		 N 56.944974°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460540771484375 y=0.306610107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460540771484375 × 214)
    floor (0.460540771484375 × 16384)
    floor (7545.5)     		tx = 7545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306610107421875 × 214)
    floor (0.306610107421875 × 16384)
    floor (5023.5)     		ty = 5023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7545 / 5023 ti = "14/7545/5023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7545/5023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7545 ÷ 214
    7545 ÷ 16384     		x = 0.46051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5023 ÷ 214
    5023 ÷ 16384     		y = 0.30657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30657958984375 × 2 - 1) × π
    0.3868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21529627916766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24812139} λ = -0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21529627916766))-π/2
    2×atan(3.37129276018085)-π/2
    2×1.28244138016072-π/2
    2.56488276032144-1.57079632675     		φ = 0.99408643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99408643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.956957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7545 KachelY 5023 -0.24812139 0.99408643 -14.216308 56.956957
    Oben rechts KachelX + 1 7546 KachelY 5023 -0.24773790 0.99408643 -14.194336 56.956957
    Unten links KachelX 7545 KachelY + 1 5024 -0.24812139 0.99387729 -14.216308 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 7546 KachelY + 1 5024 -0.24773790 0.99387729 -14.194336 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99408643-0.99387729) × R
    0.000209139999999941 × 6371000     		dl = 1332.43093999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99408643-0.99387729) × R
    0.000209139999999941 × 6371000     		dr = 1332.43093999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24812139--0.24773790) × cos(0.99408643) × R
    0.000383489999999986 × 0.545268927195135 × 6371000     		do = 1332.20910745054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24812139--0.24773790) × cos(0.99387729) × R
    0.000383489999999986 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 1332.63740792849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99408643)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545268927195135-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.24773790--0.24812139)×0.000175302015896106×R²
    0.000383489999999986×0.000175302015896106×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175302015896106×40589641000000     		ar = 1775361.98019183m²