Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7545 / 4991
↖ ↑ ↗
← N 57.338381°
W 14.216308°		 ← 1 318.55 m → N 57.338381°
W 14.194336°		 →
↑
1 318.80 m
↓
↑
1 318.80 m
↓
N 57.326521°
W 14.216308°		 ← 1 318.97 m →
1 739 175 m²		 N 57.326521°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460540771484375 y=0.304656982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460540771484375 × 214)
    floor (0.460540771484375 × 16384)
    floor (7545.5)     		tx = 7545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304656982421875 × 214)
    floor (0.304656982421875 × 16384)
    floor (4991.5)     		ty = 4991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7545 / 4991 ti = "14/7545/4991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7545/4991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7545 ÷ 214
    7545 ÷ 16384     		x = 0.46051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4991 ÷ 214
    4991 ÷ 16384     		y = 0.30462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30462646484375 × 2 - 1) × π
    0.3907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2275681254704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24812139} λ = -0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2275681254704))-π/2
    2×atan(3.41291964372389)-π/2
    2×1.28576993381164-π/2
    2.57153986762328-1.57079632675     		φ = 1.00074354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00074354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.338381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7545 KachelY 4991 -0.24812139 1.00074354 -14.216308 57.338381
    Oben rechts KachelX + 1 7546 KachelY 4991 -0.24773790 1.00074354 -14.194336 57.338381
    Unten links KachelX 7545 KachelY + 1 4992 -0.24812139 1.00053654 -14.216308 57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 7546 KachelY + 1 4992 -0.24773790 1.00053654 -14.194336 57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00074354-1.00053654) × R
    0.000207000000000068 × 6371000     		dl = 1318.79700000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00074354-1.00053654) × R
    0.000207000000000068 × 6371000     		dr = 1318.79700000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24812139--0.24773790) × cos(1.00074354) × R
    0.000383489999999986 × 0.53967648923622 × 6371000     		do = 1318.54558031716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24812139--0.24773790) × cos(1.00053654) × R
    0.000383489999999986 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 1318.97132525521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00074354)-sin(1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53967648923622-0.539850745277805)×R²
    abs(-0.24773790--0.24812139)×0.000174256041585052×R²
    0.000383489999999986×0.000174256041585052×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174256041585052×40589641000000     		ar = 1739174.69746933m²