Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75447 / 59699
↖ ↑ ↗
← N 15.826609°
E 27.221374°		 ← 293.85 m → N 15.826609°
E 27.224121°		 →
↑
293.83 m
↓
↑
293.83 m
↓
N 15.823966°
E 27.221374°		 ← 293.85 m →
86 342 m²		 N 15.823966°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575618743896484 y=0.455471038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575618743896484 × 217)
    floor (0.575618743896484 × 131072)
    floor (75447.5)     		tx = 75447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455471038818359 × 217)
    floor (0.455471038818359 × 131072)
    floor (59699.5)     		ty = 59699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75447 / 59699 ti = "17/75447/59699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75447/59699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75447 ÷ 217
    75447 ÷ 131072     		x = 0.575614929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59699 ÷ 217
    59699 ÷ 131072     		y = 0.455467224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575614929199219 × 2 - 1) × π
    0.151229858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47510261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455467224121094 × 2 - 1) × π
    0.0890655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.279807683082268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47510261} λ = 0.47510261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279807683082268))-π/2
    2×atan(1.32287537655711)-π/2
    2×0.923511377333707-π/2
    1.84702275466741-1.57079632675     		φ = 0.27622643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47510261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.221374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27622643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.826609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75447 KachelY 59699 0.47510261 0.27622643 27.221374 15.826609
    Oben rechts KachelX + 1 75448 KachelY 59699 0.47515055 0.27622643 27.224121 15.826609
    Unten links KachelX 75447 KachelY + 1 59700 0.47510261 0.27618031 27.221374 15.823966
    Unten rechts KachelX + 1 75448 KachelY + 1 59700 0.47515055 0.27618031 27.224121 15.823966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27622643-0.27618031) × R
    4.61200000000384e-05 × 6371000     		dl = 293.830520000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27622643-0.27618031) × R
    4.61200000000384e-05 × 6371000     		dr = 293.830520000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47510261-0.47515055) × cos(0.27622643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.962091440595357 × 6371000     		do = 293.84749019165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47510261-0.47515055) × cos(0.27618031) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.962104017745052 × 6371000     		du = 293.851331576903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27622643)-sin(0.27618031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962091440595357-0.962104017745052)×R²
    abs(0.47515055-0.47510261)×1.25771496951588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.25771496951588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.25771496951588e-05×40589641000000     		ar = 86341.9252172209m²