Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75445 / 57941
↖ ↑ ↗
← N 20.414143°
E 27.215881°		 ← 286.24 m → N 20.414143°
E 27.218628°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.411569°
E 27.215881°		 ← 286.25 m →
81 938 m²		 N 20.411569°
E 27.218628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575603485107422 y=0.442058563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575603485107422 × 217)
    floor (0.575603485107422 × 131072)
    floor (75445.5)     		tx = 75445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442058563232422 × 217)
    floor (0.442058563232422 × 131072)
    floor (57941.5)     		ty = 57941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75445 / 57941 ti = "17/75445/57941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75445/57941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75445 ÷ 217
    75445 ÷ 131072     		x = 0.575599670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57941 ÷ 217
    57941 ÷ 131072     		y = 0.442054748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575599670410156 × 2 - 1) × π
    0.151199340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47500674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442054748535156 × 2 - 1) × π
    0.115890502929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.364080752614326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47500674} λ = 0.47500674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364080752614326))-π/2
    2×atan(1.43919042785527)-π/2
    2×0.963545167399507-π/2
    1.92709033479901-1.57079632675     		φ = 0.35629401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47500674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.215881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35629401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.414143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75445 KachelY 57941 0.47500674 0.35629401 27.215881 20.414143
    Oben rechts KachelX + 1 75446 KachelY 57941 0.47505468 0.35629401 27.218628 20.414143
    Unten links KachelX 75445 KachelY + 1 57942 0.47500674 0.35624908 27.215881 20.411569
    Unten rechts KachelX + 1 75446 KachelY + 1 57942 0.47505468 0.35624908 27.218628 20.411569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35629401-0.35624908) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35629401-0.35624908) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47500674-0.47505468) × cos(0.35629401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.937195918509814 × 6371000     		do = 286.243756935983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47500674-0.47505468) × cos(0.35624908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.937211589300511 × 6371000     		du = 286.248543198828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35629401)-sin(0.35624908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937195918509814-0.937211589300511)×R²
    abs(0.47505468-0.47500674)×1.56707906976417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56707906976417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56707906976417e-05×40589641000000     		ar = 81937.6828118736m²