Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75444 / 59708
N 15.802825°
E 27.213135°
← 293.88 m → N 15.802825°
E 27.215881°

293.89 m

293.89 m
N 15.800182°
E 27.213135°
← 293.89 m →
86 371 m²
N 15.800182°
E 27.215881°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575595855712891 y=0.455539703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575595855712891 × 217)
    floor (0.575595855712891 × 131072)
    floor (75444.5)
    tx = 75444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455539703369141 × 217)
    floor (0.455539703369141 × 131072)
    floor (59708.5)
    ty = 59708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75444 / 59708 ti = "17/75444/59708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75444/59708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75444 ÷ 217
    75444 ÷ 131072
    x = 0.575592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59708 ÷ 217
    59708 ÷ 131072
    y = 0.455535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.575592041015625 × 2 - 1) × π
    0.15118408203125 × 3.1415926535
    Λ = 0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.455535888671875 × 2 - 1) × π
    0.08892822265625 × 3.1415926535
    Φ = 0.279376250985687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47495880} λ = 0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279376250985687))-π/2
    2×atan(1.32230476875799)-π/2
    2×0.923303826565577-π/2
    1.84660765313115-1.57079632675
    φ = 0.27581133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27581133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.802825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75444 KachelY 59708 0.47495880 0.27581133 27.213135 15.802825
    Oben rechts KachelX + 1 75445 KachelY 59708 0.47500674 0.27581133 27.215881 15.802825
    Unten links KachelX 75444 KachelY + 1 59709 0.47495880 0.27576520 27.213135 15.800182
    Unten rechts KachelX + 1 75445 KachelY + 1 59709 0.47500674 0.27576520 27.215881 15.800182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.27581133-0.27576520) × R
    4.61300000000331e-05 × 6371000
    dl = 293.894230000211m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.27581133-0.27576520) × R
    4.61300000000331e-05 × 6371000
    dr = 293.894230000211m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.47495880-0.47500674) × cos(0.27581133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962204566714807 × 6371000
    do = 293.882041820057m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.47495880-0.47500674) × cos(0.27576520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962217128167457 × 6371000
    du = 293.885878411028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.27581133)-sin(0.27576520))×
    abs(λ12)×abs(0.962204566714807-0.962217128167457)×
    abs(0.47500674-0.47495880)×1.25614526498286e-05×
    4.79399999999686e-05×1.25614526498286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25614526498286e-05×40589641000000
    ar = 86370.8001828447m²