Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75442 / 59630
↖ ↑ ↗
← N 16.008856°
E 27.207642°		 ← 293.52 m → N 16.008856°
E 27.210388°		 →
↑
293.58 m
↓
↑
293.58 m
↓
N 16.006216°
E 27.207642°		 ← 293.52 m →
86 171 m²		 N 16.006216°
E 27.210388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575580596923828 y=0.454944610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575580596923828 × 217)
    floor (0.575580596923828 × 131072)
    floor (75442.5)     		tx = 75442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454944610595703 × 217)
    floor (0.454944610595703 × 131072)
    floor (59630.5)     		ty = 59630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75442 / 59630 ti = "17/75442/59630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75442/59630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75442 ÷ 217
    75442 ÷ 131072     		x = 0.575576782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59630 ÷ 217
    59630 ÷ 131072     		y = 0.454940795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575576782226562 × 2 - 1) × π
    0.151153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47486293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454940795898438 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.283115329156052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47486293} λ = 0.47486293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.283115329156052))-π/2
    2×atan(1.32725822456159)-π/2
    2×0.925101786189488-π/2
    1.85020357237898-1.57079632675     		φ = 0.27940725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47486293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.207642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27940725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.008856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75442 KachelY 59630 0.47486293 0.27940725 27.207642 16.008856
    Oben rechts KachelX + 1 75443 KachelY 59630 0.47491086 0.27940725 27.210388 16.008856
    Unten links KachelX 75442 KachelY + 1 59631 0.47486293 0.27936117 27.207642 16.006216
    Unten rechts KachelX + 1 75443 KachelY + 1 59631 0.47491086 0.27936117 27.210388 16.006216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27940725-0.27936117) × R
    4.60800000000039e-05 × 6371000     		dl = 293.575680000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27940725-0.27936117) × R
    4.60800000000039e-05 × 6371000     		dr = 293.575680000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47486293-0.47491086) × cos(0.27940725) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.961219079277224 × 6371000     		do = 293.519809322664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47486293-0.47491086) × cos(0.27936117) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.961231786472569 × 6371000     		du = 293.52368961763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27940725)-sin(0.27936117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961219079277224-0.961231786472569)×R²
    abs(0.47491086-0.47486293)×1.2707195344297e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.2707195344297e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.2707195344297e-05×40589641000000     		ar = 86170.8472107935m²